Um bloco de 5,0 kg se move em linha reta sobre uma superfície horizontal sem atrito sob influência de uma força que varia com a posição, como mostra a figura. Qual é o trabalho realizado pela força quando o bloco se move desde a origem até x=8,0 m ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um bloco de 5,0 kg que se move em uma linha reta sobre uma superfície horizontal sem atrito. Ele está sendo puxado por uma força que muda conforme a posição. Queremos descobrir o trabalho que essa força realiza quando o bloco se move da origem até metros. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de trabalho na física, especialmente quando a força varia com a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho. Trabalho ( W = F cdot d cdot cos(theta) ) é uma medida de energia transferida quando uma força é aplicada sobre um objeto e ele se move na direção dessa força. A fórmula básica para o trabalho quando a força é constante é:
Onde:
  • é a força aplicada,
  • é a distância percorrida,
  • é o ângulo entre a força e a direção do movimento.

Passo 3

Mas, na nossa situação, a força não é constante; ela varia com a posição ( W = integralx1^x2 F(x) , dx ). Quando a força varia, não conseguimos usar a fórmula simples do trabalho. Em vez disso, precisamos calcular uma integral da força em relação à posi��ão. A fórmula geral para o trabalho quando a força varia é:
Onde:
  • é a força em função da posição ,
  • é a posição inicial (no caso, 0 m),
  • é a posição final (8,0 m).

Passo 4

Vamos supor que a força W = integral0^8,0 kx , dx seja dada de uma forma específica, por exemplo, , onde é uma constante. (Se a força for diferente, basta ajustar a função de acordo.)
Nesse caso, para calcular o trabalho, substituímos na integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
W = k integral0^8,0 x , dx
A integral de integral x , dx = 12x^2 em relação a W = k [ 12x^2 ]0^8,0 = k ( 12(8,0)^2 - 12(0)^2 ) = k ( 12 times 64 ) = k times 32 é:
Então,

Passo 6

Para finalizar, precisamos saber o valor de W = 2 times 32 = 64 , Jou<=s para calcular o trabalho numérico. Se for, por exemplo, 2 N/m, então:

Resposta

O trabalho realizado pela força quando o bloco se move de 0 a 8,0 metros é Joules. Se for conhecido, substituindo na fórmula, obtemos o valor numérico do trabalho.

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