Uma partícula move-se com aceleração a(t)=t^2 i+2 j, em unidades do SI. Sabendo que no instante de tempo t=0 a velocidade é v(0)=2 i+4 j m / s e a posição é r(0)=4 j m., pede-se para determinar
a) o ângulo entre os vetores v(0) e a(1).
b) a velocidade v(t).
c) a equação horária r(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo com uma aceleração dada por a(t) = t^2 i + 2 j, e sabemos qual é a velocidade e a posição dela no instante inicial, ou seja, quando t = 0. Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar o ângulo entre os vetores v(0) e a(1).
b) Determinar a velocidade v(t) da partícula em função do tempo.
c) Encontrar a equação horária da posição r(t) da partícula.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como produto escalar, integração e compreensão de como a aceleração influencia a velocidade e a posição.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): encontrar o ângulo entre v(0) e a(1). Primeiro, precisamos calcular a(1) substituindo t = 1 na expressão da aceleração.

Passo 3

Calculando a(1):
a(1) = (1)^2 i + 2 j = 1 i + 2 j

Passo 4

Agora, vamos calcular o ângulo entre v(0) e a(1) usando a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = v(0) cdot a(1)|v(0)| , |a(1)|
Onde:
  • v(0) cdot a(1) é o produto escalar dos vetores.
  • |v(0)| e |a(1)| são as magnitudes dos vetores.

Passo 5

Calculando o produto escalar:
v(0) cdot a(1) = (2)(1) + (4)(2) = 2 + 8 = 10

Passo 6

Calculando as magnitudes dos vetores:
|v(0)| = raiz2^2 + 4^2 = raiz4 + 16 = raiz20 = 2raiz5
|a(1)| = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 7

Aplicando na fórmula do ângulo:
cos(theta) = 102raiz5 times raiz5 = 102 times 5 = 1010 = 1
Então,
theta = arccos(1) = 0^circ

Passo 8

Agora, vamos para a parte b): determinar a velocidade v(t). Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a(t) = dvdt. Para encontrar v(t), precisamos integrar a(t) em relação ao tempo.

Passo 9

Integrando cada componente de a(t):
integral ax(t) , dt = integral t^2 , dt = t^33 + Cx
integral ay(t) , dt = integral 2 , dt = 2t + Cy
Onde Cx e Cy são constantes de integraç��o.

Passo 10

Usando as condições iniciais v(0) = 2 i + 4 j, podemos determinar as constantes:
v(0) = 0^33 i + 2(0) j + Cx i + Cy j = Cx i + Cy j
Então,
Cx = 2 e Cy = 4

Passo 11

Substituindo as constantes na expressão da velocidade:
v(t) = (t^33 + 2) i + (2t + 4) j

Passo 12

Por fim, vamos para a parte c): encontrar a equação horária da posição r(t). A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo, ou seja, r(t) = integral v(t) , dt + r(0).

Passo 13

Integrando cada componente de v(t):
integral vx(t) , dt = integral (t^33 + 2) , dt = t^412 + 2t + Dx
integral vy(t) , dt = integral (2t + 4) , dt = t^2 + 4t + Dy
Onde Dx e Dy são constantes de integração.

Passo 14

Usando a condição inicial r(0) = 4 j:
r(0) = 0^412 i + 2(0) i + (0^2 + 4(0) + Dy) j = Dx i + Dy j
Então,
Dx = 0 e Dy = 4

Passo 15

Substituindo as constantes na expressão da posição:
r(t) = (t^412 + 2t) i + (t^2 + 4t + 4) j

Resposta

a) O ângulo entre v(0) e a(1) é 0^circ.
b) A velocidade em função do tempo é:
v(t) = (13 t^3 + 2) i + (2 t + 4) j
c) A posição em função do tempo é:
r(t) = (112 t^4 + 2 t) i + (t^2 + 4 t + 4) j

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