Uma partícula move-se com aceleração
, em unidades do SI. Sabendo que no instante de tempo
a velocidade é
e a posição é
., pede-se para determinar
a) o ângulo entre os vetores
e
.
b) a velocidade
.
c) a equação horária
.
a) o ângulo entre os vetores
b) a velocidade
c) a equação horária
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo com uma aceleração dada por
, e sabemos qual é a velocidade e a posição dela no instante inicial, ou seja, quando
. Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar o ângulo entre os vetores
e
.
b) Determinar a velocidade
da partícula em função do tempo.
c) Encontrar a equação horária da posição
da partícula.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como produto escalar, integração e compreensão de como a aceleração influencia a velocidade e a posição.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): encontrar o ângulo entre
e
. Primeiro, precisamos calcular
substituindo
na expressão da aceleração.
Passo 3
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o ângulo entre
e
usando a fórmula do produto escalar:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as magnitudes dos vetores.
Passo 5
Calculando o produto escalar:
Passo 6
Calculando as magnitudes dos vetores:
Passo 7
Aplicando na fórmula do ângulo:
Então,
Passo 8
Agora, vamos para a parte b): determinar a velocidade
. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Para encontrar
, precisamos integrar
em relação ao tempo.
Passo 9
Integrando cada componente de
:
Onde
e
são constantes de integraç��o.
Passo 10
Usando as condições iniciais
, podemos determinar as constantes:
Então,
Passo 11
Substituindo as constantes na expressão da velocidade:
Passo 12
Por fim, vamos para a parte c): encontrar a equação horária da posição
. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 13
Integrando cada componente de
:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 14
Usando a condição inicial
:
Então,
Passo 15
Substituindo as constantes na expressão da posição:
Resposta
a) O ângulo entre
e
é
.
b) A velocidade em função do tempo é:
c) A posição em função do tempo é: