Uma partícula move-se com aceleração , em unidades do SI. Sabendo que no instante de tempo a velocidade é e a posição é ., pede-se para determinar
a) o ângulo entre os vetores e .
b) a velocidade .
c) a equação horária .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo com uma aceleração dada por , e sabemos qual é a velocidade e a posição dela no instante inicial, ou seja, quando . Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar o ângulo entre os vetores e .
b) Determinar a velocidade da partícula em função do tempo.
c) Encontrar a equação horária da posição da partícula.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como produto escalar, integração e compreensão de como a aceleração influencia a velocidade e a posição.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): encontrar o ângulo entre e . Primeiro, precisamos calcular substituindo na expressão da aceleração.

Passo 3

Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular o ângulo entre e usando a fórmula do produto escalar:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes dos vetores.

Passo 5

Calculando o produto escalar:

Passo 6

Calculando as magnitudes dos vetores:

Passo 7

Aplicando na fórmula do ângulo:
Então,

Passo 8

Agora, vamos para a parte b): determinar a velocidade . Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Para encontrar , precisamos integrar em relação ao tempo.

Passo 9

Integrando cada componente de :
Onde e são constantes de integraç��o.

Passo 10

Usando as condições iniciais , podemos determinar as constantes:
Então,

Passo 11

Substituindo as constantes na expressão da velocidade:

Passo 12

Por fim, vamos para a parte c): encontrar a equação horária da posição . A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 13

Integrando cada componente de :
Onde e são constantes de integração.

Passo 14

Usando a condição inicial :
Então,

Passo 15

Substituindo as constantes na expressão da posição:

Resposta

a) O ângulo entre e é .
b) A velocidade em função do tempo é:
c) A posição em função do tempo é:

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