Uma corrente de comprimento uniforme L e massa repousa sobre uma mesa horizontal com 2/3 de sua parte na mesa. O coeficiente de atrito entre a mesa e a corrente é . Encontre o trabalho feito pelo atrito durante o período em que a corrente desliza para fora da mesa.

Passo 1

Vamos entender qual é o problema. Temos uma corrente com comprimento uniforme e massa que está repousando sobre uma mesa horizontal. Inicialmente, do comprimento da corrente está sobre a mesa. O coeficiente de atrito entre a corrente e a mesa é . Queremos descobrir qual é o trabalho realizado pelo atrito enquanto a corrente desliza para fora da mesa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física relacionados ao trabalho, força de atrito e integração para somar as contribuições do atrito ao longo do movimento da corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa por unidade de comprimento da corrente. Como a corrente é uniforme, a massa por unidade de comprimento é dada por:
Isso significa que cada metro de comprimento da corrente tem uma massa de .

Passo 3

A força de atrito que age sobre a corrente depende da parte da corrente que está em contato com a mesa. Se uma parte da corrente está sobre a mesa, a força de atrito é:
Onde é a força normal, que no caso é igual ao peso da parte da corrente sobre a mesa:
Portanto, a força de atrito fica:

Passo 4

Para encontrar o trabalho feito pelo atrito, precisamos integrar a força de atrito ao longo do deslocamento da corrente. O trabalho é dado por:
Como a corrente está deslizando para fora da mesa, o deslocamento está relacionado com a variação da parte que permanece sobre a mesa. Podemos reescrever a integral em termos de :
Aqui, (parte inicial sobre a mesa) e (quando a corrente sai completamente da mesa).

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Como os limites estão de para , podemos trocar os limites e colocar um sinal negativo:
Integrando em relação a :
Portanto:
Simplificando:

Passo 6

Substituindo na equação:
Simplificando:
Como o trabalho realizado pelo atrito retira energia do sistema, podemos considerar apenas o valor positivo para representar a magnitude do trabalho.

Resposta

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onde x é a distância percorrida a partir do repouso.