Uma corrente de comprimento uniforme L e massa
repousa sobre uma mesa horizontal com 2/3 de sua parte na mesa. O coeficiente de atrito entre a mesa e a corrente é
. Encontre o trabalho feito pelo atrito durante o período em que a corrente desliza para fora da mesa.
Passo 1
Vamos entender qual é o problema. Temos uma corrente com comprimento uniforme
e massa
que está repousando sobre uma mesa horizontal. Inicialmente,
do comprimento da corrente está sobre a mesa. O coeficiente de atrito entre a corrente e a mesa é
. Queremos descobrir qual é o trabalho realizado pelo atrito enquanto a corrente desliza para fora da mesa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física relacionados ao trabalho, força de atrito e integração para somar as contribuições do atrito ao longo do movimento da corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa por unidade de comprimento da corrente. Como a corrente é uniforme, a massa por unidade de comprimento
é dada por:
Isso significa que cada metro de comprimento da corrente tem uma massa de
.
Passo 3
A força de atrito
que age sobre a corrente depende da parte da corrente que está em contato com a mesa. Se uma parte
da corrente está sobre a mesa, a força de atrito é:
Onde
é a força normal, que no caso é igual ao peso da parte da corrente sobre a mesa:
Portanto, a força de atrito fica:
Passo 4
Para encontrar o trabalho feito pelo atrito, precisamos integrar a força de atrito ao longo do deslocamento da corrente. O trabalho
é dado por:
Como a corrente está deslizando para fora da mesa, o deslocamento
está relacionado com a variação da parte
que permanece sobre a mesa. Podemos reescrever a integral em termos de
:
Aqui,
(parte inicial sobre a mesa) e
(quando a corrente sai completamente da mesa).
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Como os limites estão de
para
, podemos trocar os limites e colocar um sinal negativo:
Integrando
em relação a
:
Portanto:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo
na equação:
Simplificando:
Como o trabalho realizado pelo atrito retira energia do sistema, podemos considerar apenas o valor positivo para representar a magnitude do trabalho.
Resposta
Exercícios relacionados
A figura mostra dois blocos de massas
e
inicialmente em repouso, conectados entre si por uma mola relaxada, de constante elástica K . Sabendo que a gravidade local vale g e que o coeficiente de atrito entre os blocos e solo vale
, determine a intensidade da menor força horizontal constante que se deve aplicar ao bloco 1 a fim de mover o bloco 2.
Um bloco de
se move em linha reta sobre uma superfície horizontal sem atrito sob influência de uma força que varia com a posição, como mostra a figura. Qual é o trabalho realizado pela força quando o bloco se move desde a origem até
?
Sobre uma reta orientada, são dados ordenadamente os pontos
e
, tais que
= x. Uma partícula move-se nessa reta com velocidade escalar média v1 de A a B e com velocidade escalar média v2 de B a C. Determine a velocidade escalar média dessa partícula de A a C.
Mostre que a velocidade
alcançada por um carro de massa
dirigido com potência constante
é dada por
onde x é a distância percorrida a partir do repouso.
onde x é a distância percorrida a partir do repouso.