Uma corrente de comprimento uniforme L e massa M repousa sobre uma mesa horizontal com 2/3 de sua parte na mesa. O coeficiente de atrito entre a mesa e a corrente é mu. Encontre o trabalho feito pelo atrito durante o período em que a corrente desliza para fora da mesa.

Passo 1

Vamos entender qual é o problema. Temos uma corrente com comprimento uniforme e massa que está repousando sobre uma mesa horizontal. Inicialmente, do comprimento da corrente está sobre a mesa. O coeficiente de atrito entre a corrente e a mesa é . Queremos descobrir qual é o trabalho realizado pelo atrito enquanto a corrente desliza para fora da mesa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física relacionados ao trabalho, força de atrito e integração para somar as contribuições do atrito ao longo do movimento da corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa por unidade de comprimento da corrente. Como a corrente é uniforme, a massa por unidade de comprimento lambda = ML é dada por:
Isso significa que cada metro de comprimento da corrente tem uma massa de .

Passo 3

A força de atrito Ff = mu cdot N que age sobre a corrente depende da parte da corrente que está em contato com a mesa. Se uma parte N = lambda cdot s cdot g da corrente está sobre a mesa, a força de atrito é:
Ff = mu cdot lambda cdot s cdot g
Onde é a força normal, que no caso é igual ao peso da parte da corrente sobre a mesa:
Portanto, a força de atrito fica:

Passo 4

Para encontrar o trabalho feito pelo atrito, precisamos integrar a força de atrito ao longo do deslocamento da corrente. O trabalho W = integral Ff , dx é dado por:
W = integralsi^sf mu cdot lambda cdot s cdot g , ds
Como a corrente está deslizando para fora da mesa, o deslocamento está relacionado com a variação da parte que permanece sobre a mesa. Podemos reescrever a integral em termos de :
Aqui, (parte inicial sobre a mesa) e (quando a corrente sai completamente da mesa).

Passo 5

Vamos calcular a integral:
W = mu cdot lambda cdot g integral23L^0 s , ds
Como os limites estão de W = -mu cdot lambda cdot g integral0^23L s , ds para integral s , ds = s^22 , podemos trocar os limites e colocar um sinal negativo:
W = -mu cdot lambda cdot g [ s^22 ]0^23L = -mu cdot lambda cdot g ( ( 23L )^22 - 0 )
Integrando W = -mu cdot lambda cdot g cdot 4L^218 = -mu cdot lambda cdot g cdot 2L^29 em relação a :
Portanto:
Simplificando:

Passo 6

Substituindo W = -mu cdot ML cdot g cdot 2L^29 = -mu cdot M cdot g cdot 2L9 na equação:
W = -29 mu M g L
Simplificando:
Como o trabalho realizado pelo atrito retira energia do sistema, podemos considerar apenas o valor positivo para representar a magnitude do trabalho.

Resposta

W = 29 mu M g L

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