Um bloco de 1 kg repousa sobre a superfície semicilíndrica lisa. Uma corda elástica tendo uma rigidez é ligada ao bloco em e à base do semicilindro no ponto . Se o bloco é solto do repouso em , determine o comprimento não deformado da corda de maneira que o bloco comece a deixar o semicilindro no instante . Despreze a dimensão do bloco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de dinâmica envolvendo forças numa superfície curva e uma corda elástica. O objetivo é descobrir o comprimento natural da corda para que o bloco comece a se soltar da superfície quando estiver no ângulo de 45 graus. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças atuantes no bloco, usar conceitos de energia e equilíbrio de forças. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um semicilindro liso (sem atrito), com um bloco de massa preso por uma corda elástica de constante . A corda está ligada na base do semicilindro no ponto e no bloco no ponto . O bloco é solto do repouso no ponto onde .
Passo 3
Quando o bloco começa a se mover e chega a um certo ângulo , queremos que ele comece a se desprender da superfície. Isso acontece quando a força normal que a superfície exerce sobre o bloco se torna zero. Ou seja, nesse ponto, apenas as forças da gravidade e da tensão da corda estão atuando.
Passo 4
Vamos considerar as forças atuantes no bloco quando :
Força peso (): Atua verticalmente para baixo.
Tensão da corda (): Atua ao longo da corda, fazendo um ângulo com a vertical.
Força centrípeta: Necessária para manter o bloco em movimento circular, dada por , onde é a velocidade do bloco e é o raio do semicilindro.
Como a superfície é lisa, não temos atrito. No ponto em que o bloco começa a se soltar, a força normal .
Passo 5
Vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção radial (perpendicular à superfície do semicilindro):
Aqui, é o raio do semicilindro. Porém, a corda está esticada, então precisamos relacionar com o comprimento natural da corda e o estiramento.
Passo 6
Agora, vamos usar a conservação de energia. Quando o bloco é solto do repouso em , toda a energia é potencial elástica e potencial gravitacional. Ao chegar em , parte dessa energia se transforma em energia cinética.
A energia total inicial () é apenas a potencial elástica:
A energia total no ponto () é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional:
Onde é a altura ganha pelo bloco.
Passo 7
Igualando as energias:
Precisamos expressar em termos das outras variáveis para substituir na equação da força centrípeta.
Passo 8
Considerando a geometria, a altura quando é:
Com :
Passo 9
Substituindo da equação de energia na equação da força centrípeta:
Lembrando que no ponto de desprendimento , então:
Assim, temos:
Passo 10
Agora, substituímos e resolvemos para :
Simplificando:
\
Passo 11
Finalmente, resolvendo para :
Assumindo que o raio seja conhecido ou dado no problema (se não for, precisaríamos dessa informação para calcular numéricamente).
Resposta
O comprimento não deformado da corda é:
Onde:
(aceleração da gravidade)
é o raio do semicilindro (deve ser fornecido ou considerado na análise)