Um bloco de 1 kg repousa sobre a superfície semicilíndrica lisa. Uma corda elástica tendo uma rigidez é ligada ao bloco em e à base do semicilindro no ponto . Se o bloco é solto do repouso em , determine o comprimento não deformado da corda de maneira que o bloco comece a deixar o semicilindro no instante . Despreze a dimensão do bloco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de dinâmica envolvendo forças numa superfície curva e uma corda elástica. O objetivo é descobrir o comprimento natural da corda para que o bloco comece a se soltar da superfície quando estiver no ângulo de 45 graus. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças atuantes no bloco, usar conceitos de energia e equilíbrio de forças. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um semicilindro liso (sem atrito), com um bloco de massa preso por uma corda elástica de constante . A corda está ligada na base do semicilindro no ponto e no bloco no ponto . O bloco é solto do repouso no ponto onde .

Passo 3

Quando o bloco começa a se mover e chega a um certo ângulo , queremos que ele comece a se desprender da superfície. Isso acontece quando a força normal que a superfície exerce sobre o bloco se torna zero. Ou seja, nesse ponto, apenas as forças da gravidade e da tensão da corda estão atuando.

Passo 4

Vamos considerar as forças atuantes no bloco quando :
  1. Força peso ( ): Atua verticalmente para baixo.
  2. Tensão da corda ( ): Atua ao longo da corda, fazendo um ângulo com a vertical.
  3. Força centrípeta: Necessária para manter o bloco em movimento circular, dada por , onde é a velocidade do bloco e é o raio do semicilindro.
Como a superfície é lisa, não temos atrito. No ponto em que o bloco começa a se soltar, a força normal .

Passo 5

Vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção radial (perpendicular à superfície do semicilindro):
Aqui, é o raio do semicilindro. Porém, a corda está esticada, então precisamos relacionar com o comprimento natural da corda e o estiramento.

Passo 6

Agora, vamos usar a conservação de energia. Quando o bloco é solto do repouso em , toda a energia é potencial elástica e potencial gravitacional. Ao chegar em , parte dessa energia se transforma em energia cinética.
A energia total inicial ( ) é apenas a potencial elástica:
A energia total no ponto ( ) é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional:
Onde é a altura ganha pelo bloco.

Passo 7

Igualando as energias:
Precisamos expressar em termos das outras variáveis para substituir na equação da força centrípeta.

Passo 8

Considerando a geometria, a altura quando é:
Com :

Passo 9

Substituindo da equação de energia na equação da força centrípeta:
Lembrando que no ponto de desprendimento , então:
Assim, temos:

Passo 10

Agora, substituímos e resolvemos para :
Simplificando:
\

Passo 11

Finalmente, resolvendo para :
Assumindo que o raio seja conhecido ou dado no problema (se não for, precisaríamos dessa informação para calcular numéricamente).

Resposta

O comprimento não deformado da corda é:
Onde:
  • (aceleração da gravidade)
  • é o raio do semicilindro (deve ser fornecido ou considerado na análise)

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