Um bloco de 1 kg repousa sobre a superfície semicilíndrica lisa. Uma corda elástica tendo uma rigidez
é ligada ao bloco em
e à base do semicilindro no ponto
. Se o bloco é solto do repouso em
, determine o comprimento não deformado da corda de maneira que o bloco comece a deixar o semicilindro no instante
. Despreze a dimensão do bloco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de dinâmica envolvendo forças numa superfície curva e uma corda elástica. O objetivo é descobrir o comprimento natural da corda para que o bloco comece a se soltar da superfície quando estiver no ângulo de 45 graus. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças atuantes no bloco, usar conceitos de energia e equilíbrio de forças. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um semicilindro liso (sem atrito), com um bloco de massa
preso por uma corda elástica de constante
. A corda está ligada na base do semicilindro no ponto
e no bloco no ponto
. O bloco é solto do repouso no ponto
onde
.
Passo 3
Quando o bloco começa a se mover e chega a um certo ângulo
, queremos que ele comece a se desprender da superfície. Isso acontece quando a força normal
que a superfície exerce sobre o bloco se torna zero. Ou seja, nesse ponto, apenas as forças da gravidade e da tensão da corda estão atuando.
Passo 4
Vamos considerar as forças atuantes no bloco quando
:
- Força peso (
): Atua verticalmente para baixo. - Tensão da corda (
): Atua ao longo da corda, fazendo um ângulo com a vertical. - Força centrípeta: Necessária para manter o bloco em movimento circular, dada por
, onde é a velocidade do bloco e é o raio do semicilindro.
Como a superfície é lisa, não temos atrito. No ponto em que o bloco começa a se soltar, a força normal
.
Passo 5
Vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção radial (perpendicular à superfície do semicilindro):
Aqui,
é o raio do semicilindro. Porém, a corda está esticada, então precisamos relacionar
com o comprimento natural da corda
e o estiramento.
Passo 6
Agora, vamos usar a conservação de energia. Quando o bloco é solto do repouso em
, toda a energia é potencial elástica e potencial gravitacional. Ao chegar em
, parte dessa energia se transforma em energia cinética.
A energia total inicial (
) é apenas a potencial elástica:
A energia total no ponto
(
) é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional:
Onde
é a altura ganha pelo bloco.
Passo 7
Igualando as energias:
Precisamos expressar
em termos das outras variáveis para substituir na equação da força centrípeta.
Passo 8
Considerando a geometria, a altura
quando
é:
Com
:
Passo 9
Substituindo
da equação de energia na equação da força centrípeta:
Lembrando que no ponto de desprendimento
, então:
Assim, temos:
Passo 10
Agora, substituímos
e resolvemos para
:
Simplificando:
\
Passo 11
Finalmente, resolvendo para
:
Assumindo que o raio
seja conhecido ou dado no problema (se não for, precisaríamos dessa informação para calcular numéricamente).
Resposta
O comprimento não deformado da corda é:
Onde:
-
(aceleração da gravidade) -
-
é o raio do semicilindro (deve ser fornecido ou considerado na análise)