Um bloco de 1 kg repousa sobre a superfície semicilíndrica lisa. Uma corda elástica tendo uma rigidez k=30 N / m é ligada ao bloco em B e à base do semicilindro no ponto C. Se o bloco é solto do repouso em A(theta=0^circ), determine o comprimento não deformado da corda de maneira que o bloco comece a deixar o semicilindro no instante theta= 45^circ. Despreze a dimensão do bloco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de dinâmica envolvendo forças numa superfície curva e uma corda elástica. O objetivo é descobrir o comprimento natural da corda para que o bloco comece a se soltar da superfície quando estiver no ângulo de 45 graus. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças atuantes no bloco, usar conceitos de energia e equilíbrio de forças. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um semicilindro liso (sem atrito), com um bloco de massa preso por uma corda elástica de constante . A corda está ligada na base do semicilindro no ponto e no bloco no ponto . O bloco é solto do repouso no ponto onde .

Passo 3

Quando o bloco começa a se mover e chega a um certo ângulo , queremos que ele comece a se desprender da superfície. Isso acontece quando a força normal que a superfície exerce sobre o bloco se torna zero. Ou seja, nesse ponto, apenas as forças da gravidade e da tensão da corda estão atuando.

Passo 4

Vamos considerar as forças atuantes no bloco quando :
  1. Força peso ( ): Atua verticalmente para baixo.
  2. Tensão da corda ( ): Atua ao longo da corda, fazendo um ângulo com a vertical.
  3. Força centrípeta: Necessária para manter o bloco em movimento circular, dada por , onde é a velocidade do bloco e é o raio do semicilindro.
Como a superfície é lisa, não temos atrito. No ponto em que o bloco começa a se soltar, a força normal .

Passo 5

Vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção radial (perpendicular à superfície do semicilindro):
T + mg cos(theta) = m v^2r
Aqui, é o raio do semicilindro. Porém, a corda está esticada, então precisamos relacionar com o comprimento natural da corda e o estiramento.

Passo 6

Agora, vamos usar a conservação de energia. Quando o bloco é solto do repouso em Ei = 12 k (L)^2 , toda a energia é potencial elástica e potencial gravitacional. Ao chegar em Ef = 12 m v^2 + m g h , parte dessa energia se transforma em energia cinética.
A energia total inicial ( ) é apenas a potencial elástica:
A energia total no ponto ( ) é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional:
Onde é a altura ganha pelo bloco.

Passo 7

Igualando as energias:
12 k L^2 = 12 m v^2 + m g h
Precisamos expressar em termos das outras variáveis para substituir na equação da força centrípeta.

Passo 8

Considerando a geometria, a altura h = r (1 - cos(theta)) quando h = r (1 - raiz22) é:
Com :

Passo 9

Substituindo T + mg cos(45^circ) = mr (k L^2 - 2 m g h) da equação de energia na equação da força centrípeta:
T = 0
Lembrando que no ponto de desprendimento mg cos(45^circ) = mr (k L^2 - 2 m g h) , então:
Assim, temos:

Passo 10

Agora, substituímos g cos(45^circ) = 1r (k L^2 - 2 g r (1 - raiz22)) e resolvemos para k L^2 = g r (1 + cos(45^circ)) :
L^2 = g r (1 + raiz22)k
Simplificando:
\

Passo 11

Finalmente, resolvendo para L = raizg r (1 + raiz22)k :
Assumindo que o raio seja conhecido ou dado no problema (se não for, precisaríamos dessa informação para calcular numéricamente).

Resposta

O comprimento não deformado da corda é:
L = raizg cdot r (1 + raiz22)k
Onde:
  • (aceleração da gravidade)
  • é o raio do semicilindro (deve ser fornecido ou considerado na análise)

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