Um projétil é disparado da origem de um sistema de coordenadas, com velocidade inicial v0 em uma direção que faz um ângulo alpha com o eixo horizontal.
(a) Obtenha as equações de movimento ao longo dos eixos horizontal e vertical.
(b) Obtenha o tempo de vôo do projétil.
© Calcule o tempo necessário para que o projétil cruze uma linha que passa pela origem e faz um ângulo beta com a horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento de projétil! A gente vai lidar com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem se preocupar com as causas desse movimento. Para resolver as três partes do exercício, vamos precisar entender como decompor a velocidade inicial nos eixos horizontal e vertical e aplicar as equações do movimento uniformemente variado, já que a única aceleração que atua no projétil é a da gravidade.

Passo 2

Parte (a): Encontrar as equações de movimento ao longo dos eixos horizontal e vertical.
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial v0x = v0 cos(alpha) nos eixos v0y = v0 sin(alpha) (horizontal) e x(t) = v0x cdot t = v0 cos(alpha) cdot t (vertical). Isso é feito usando as funções trigonométricas seno e cosseno.
A componente horizontal da velocidade é:
y(t) = v0y cdot t - 12 g t^2 = v0 sin(alpha) cdot t - 12 g t^2
E a componente vertical da velocidade é:
Agora, vamos escrever as equações de movimento para cada eixo.
Eixo Horizontal ( ):
O movimento horizontal é uniforme, ou seja, sem aceleração (a única força é a gravidade, que atua verticalmente). Portanto, a posição no tempo é dada por:
Eixo Vertical ( ):
No movimento vertical, há aceleração devido à gravidade ( ), que puxa o projétil para baixo. A posição no tempo é dada por:

Passo 3

Parte (b): Encontrar o tempo de voo do projétil.
O tempo de voo é o tempo total que o projétil leva para voltar ao solo, ou seja, quando a posição vertical y(t) = v0 sin(alpha) cdot t - 12 g t^2 = 0 volta a ser zero.
Usamos a equação do movimento vertical:
t ( v0 sin(alpha) - 12 g t ) = 0
Fatorando v0 sin(alpha) - 12 g t = 0 Rightarrow t = 2 v0 sin(alpha)g :
T = 2 v0 sin(alpha)g
Uma solução é (o instante do disparo). A outra solução é:
Então, o tempo de voo total é:

Passo 4

Parte ©: Calcular o tempo necessário para que o projétil cruze uma linha que passa pela origem e faz um ângulo y(t) = v0 sin(alpha) cdot t - 12 g t^2 com a horizontal.
Queremos encontrar o tempo x(t) = v0 cos(alpha) cdot t quando o projétil está sobre a linha definida por y(t) = x(t) tan(beta) = v0 cos(alpha) cdot t cdot tan(beta) . Essa linha pode ser descrita pela relação v0 sin(alpha) cdot t - 12 g t^2 = v0 cos(alpha) cdot t cdot tan(beta) .
Usando as equações de v0 sin(alpha) cdot t - v0 cos(alpha) tan(beta) cdot t - 12 g t^2 = 0 e t ( v0 [sin(alpha) - cos(alpha) tan(beta)] - 12 g t ) = 0 :
v0 [sin(alpha) - cos(alpha) tan(beta)] - 12 g t = 0
t = 2 v0 [sin(alpha) - cos(alpha) tan(beta)]g
Substituindo na equação da linha:
Então:
Vamos rearranjar a equação:
Ignorando a solução trivial , temos:

Resposta

O tempo necessário para que o projétil cruze a linha que faz um ângulo t = 2 v0 [sin(alpha) - cos(alpha) tan(beta)]g com a horizontal é:

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