Considere novamente o sistema do exercício anterior (2.3), onde um projétil é lançado com velocidade v0 em uma direção que forma um ângulo alpha com o eixo horizontal.
(a) Determine o angulo alpha que maximiza a distância percorrida pelo projétil no eixo horizontal.
(b) Em sua trajetória parabólica, o projétil passa por dois pontos distintos, p1=(x1, h) e p2=(x2, h), onde h é a altura em relação ao eixo horizontal. Mostre que a distância d=|x2-x1| entre esses dois pontos, considerando o ângulo alpha calculado no item anterior, é dada por
d=v0 raizv0^2-4 g hg

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver duas partes sobre o movimento de um projétil lançado com uma velocidade inicial formando um ângulo com o eixo horizontal. No item (a), precisamos encontrar o ângulo que faz o projétil percorrer a maior distância horizontal possível. No item (b), usando o ângulo encontrado, vamos mostrar uma fórmula para a distância entre dois pontos específicos na trajetória do projétil.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). Para maximizar a distância horizontal percorrida pelo projétil, precisamos usar a fórmula da alcance máximo no movimento parabólico. O alcance R = v0^2 sin(2alpha)g de um projétil é dado por:
onde:
  • é a velocidade inicial,
  • é o ângulo de lançamento,
  • é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Para encontrar o ângulo sin(2alpha) = 1 que maximiza 2alpha = 90^circ Rightarrow alpha = 45^circ , precisamos maximizar a função . Sabemos que o valor máximo do seno é 1. Portanto:
Resolvendo para :
Então, o ângulo que maximiza a distância horizontal é .

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que o projétil passa por dois pontos d = v0 raizv0^2 - 4ghg e na trajetória, onde ambos estão na mesma altura em relação ao eixo horizontal. Queremos mostrar que a distância é dada por:

Passo 5

Para isso, usamos a equação da trajetória do projétil, que é uma parábola:
y = x tanalpha - g x^22 v0^2 cos^2alpha
Como h = x - g x^22 v0^2 (24) = x - g x^2v0^2 , sabemos que e . Substituindo na equação:

Passo 6

Rearranjando a equação para resolver para g x^2v0^2 - x + h = 0 :
ax^2 + bx + c = 0
Essa é uma equação quadrática na forma:
onde , , e .

Passo 7

Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a = 1 pm raiz1 - 4 cdot gv0^2 cdot h2 cdot gv0^2
Simplificando:
x = v0^2 (1 pm raiz1 - 4ghv0^2)2g = v0^2 pm v0raizv0^2 - 4gh2g

Passo 8

A distância d = | x2 - x1 | = v0 raizv0^2 - 4ghg entre os dois pontos é a diferença entre as duas soluções de :
Isso confirma a fórmula que queríamos mostrar.

Resposta

(a) O ângulo d = v0 raizv0^2 - 4ghg que maximiza a distância horizontal é .
(b) A distância entre os pontos e é dada por:

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