Considere novamente o sistema do exercício anterior (2.3), onde um projétil é lançado com velocidade
em uma direção que forma um ângulo
com o eixo horizontal.
(a) Determine o angulo
que maximiza a distância percorrida pelo projétil no eixo horizontal.
(b) Em sua trajetória parabólica, o projétil passa por dois pontos distintos,
e
, onde
é a altura em relação ao eixo horizontal. Mostre que a distância
entre esses dois pontos, considerando o ângulo
calculado no item anterior, é dada por
(a) Determine o angulo
(b) Em sua trajetória parabólica, o projétil passa por dois pontos distintos,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver duas partes sobre o movimento de um projétil lançado com uma velocidade inicial
formando um ângulo
com o eixo horizontal. No item (a), precisamos encontrar o ângulo
que faz o projétil percorrer a maior distância horizontal possível. No item (b), usando o ângulo encontrado, vamos mostrar uma fórmula para a distância entre dois pontos específicos na trajetória do projétil.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). Para maximizar a distância horizontal percorrida pelo projétil, precisamos usar a fórmula da alcance máximo no movimento parabólico. O alcance
de um projétil é dado por:
onde:
-
é a velocidade inicial, -
é o ângulo de lançamento, -
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Para encontrar o ângulo
que maximiza
, precisamos maximizar a função
. Sabemos que o valor máximo do seno é 1. Portanto:
Resolvendo para
:
Então, o ângulo que maximiza a distância horizontal é
.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que o projétil passa por dois pontos
e
na trajetória, onde ambos estão na mesma altura
em relação ao eixo horizontal. Queremos mostrar que a distância
é dada por:
Passo 5
Para isso, usamos a equação da trajetória do projétil, que é uma parábola:
Como
, sabemos que
e
. Substituindo na equação:
Passo 6
Rearranjando a equação para resolver para
:
Essa é uma equação quadrática na forma:
onde
,
, e
.
Passo 7
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:
Simplificando:
Passo 8
A distância
entre os dois pontos é a diferença entre as duas soluções de
:
Isso confirma a fórmula que queríamos mostrar.
Resposta
(a) O ângulo
que maximiza a distância horizontal é
.
(b) A distância entre os pontos
e
é dada por:
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, sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo de
.
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