Considere novamente o sistema do exercício anterior (2.3), onde um projétil é lançado com velocidade em uma direção que forma um ângulo com o eixo horizontal.
(a) Determine o angulo que maximiza a distância percorrida pelo projétil no eixo horizontal.
(b) Em sua trajetória parabólica, o projétil passa por dois pontos distintos, e , onde é a altura em relação ao eixo horizontal. Mostre que a distância entre esses dois pontos, considerando o ângulo calculado no item anterior, é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver duas partes sobre o movimento de um projétil lançado com uma velocidade inicial formando um ângulo com o eixo horizontal. No item (a), precisamos encontrar o ângulo que faz o projétil percorrer a maior distância horizontal possível. No item (b), usando o ângulo encontrado, vamos mostrar uma fórmula para a distância entre dois pontos específicos na trajetória do projétil.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). Para maximizar a distância horizontal percorrida pelo projétil, precisamos usar a fórmula da alcance máximo no movimento parabólico. O alcance de um projétil é dado por:
onde:
  • é a velocidade inicial,
  • é o ângulo de lançamento,
  • é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Para encontrar o ângulo que maximiza , precisamos maximizar a função . Sabemos que o valor máximo do seno é 1. Portanto:
Resolvendo para :
Então, o ângulo que maximiza a distância horizontal é .

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que o projétil passa por dois pontos e na trajetória, onde ambos estão na mesma altura em relação ao eixo horizontal. Queremos mostrar que a distância é dada por:

Passo 5

Para isso, usamos a equação da trajetória do projétil, que é uma parábola:
Como , sabemos que e . Substituindo na equação:

Passo 6

Rearranjando a equação para resolver para :
Essa é uma equação quadrática na forma:
onde , , e .

Passo 7

Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:
Simplificando:

Passo 8

A distância entre os dois pontos é a diferença entre as duas soluções de :
Isso confirma a fórmula que queríamos mostrar.

Resposta

(a) O ângulo que maximiza a distância horizontal é .
(b) A distância entre os pontos e é dada por:

Exercícios relacionados

Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de , sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo de .
Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de , sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo de .
Um projétil é disparado da origem de um sistema de coordenadas, com velocidade inicial em uma direção que faz um ângulo com o eixo horizontal.
(a) Obtenha as equações de movimento ao longo dos eixos horizontal e vertical.
(b) Obtenha o tempo de vôo do projétil.
© Calcule o tempo necessário para que o projétil cruze uma linha que passa pela origem e faz um ângulo com a horizontal.
Um bloco de 1 kg repousa sobre a superfície semicilíndrica lisa. Uma corda elástica tendo uma rigidez é ligada ao bloco em e à base do semicilindro no ponto . Se o bloco é solto do repouso em , determine o comprimento não deformado da corda de maneira que o bloco comece a deixar o semicilindro no instante . Despreze a dimensão do bloco.