Um bloco de 1,5 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito sofre ação de uma força dada por F=(3,0 x^2-1,0) i-2,0 y j. Calcule o trabalho realizado por esta força quando o bloco se desloca da posição ( 0 m ; 1 m ) para a posição ( 3 m ; 4 m ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um bloco de massa 1,5 , kg que está parado em uma superfície horizontal sem atrito. Uma força está agindo sobre ele, e queremos calcular o trabalho que essa força realiza quando o bloco se move de uma posição inicial (0 , m; 1 , m) para uma posição final (3 , m; 4 , m). Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de trabalho na física e como calcular o trabalho realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho. O trabalho ( W) realizado por uma força é dado pela integral do produto escalar da força ( F) pelo deslocamento ( ds):
W = integralsi^sf F cdot ds
Como a força depende das coordenadas x e y, precisamos parametrizar o caminho que o bloco percorre de (0, 1) até (3, 4). Vamos assumir que o movimento é linear.

Passo 3

Vamos parametrizar o deslocamento. Se o bloco se move de (xi, yi) = (0, 1) para (xf, yf) = (3, 4) de maneira linear, podemos escrever as equações paramétricas para x e y em função de um parâmetro t, onde t varia de 0 a 1:
x(t) = xi + (xf - xi) t = 0 + 3t = 3t
y(t) = yi + (yf - yi) t = 1 + 3t = 1 + 3t
O deslocamento diferencial ds é:
ds = dxdt dt , i + dydt dt , j = 3 , dt , i + 3 , dt , j

Passo 4

Agora, substituímos as expressões de x(t) e y(t) na força F:
F(x, y) = (3.0 x^2 -1.0) i -2.0 y j
Substituindo x(t) = 3t e y(t) = 1 + 3t:
F(t) = (3.0 (3t)^2 -1.0) i -2.0 (1 + 3t) j = (27t^2 -1) i -2(1 + 3t) j

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot ds:
F(t) cdot ds = (27t^2 -1) cdot 3 , dt + (-2(1 + 3t)) cdot 3 , dt = [3(27t^2 -1) + (-6)(1 + 3t)] dt
Simplificando:
= [81t^2 -3 -6 -18t] dt = (81t^2 -18t -9) dt

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de t = 0 a t = 1 para encontrar o trabalho:
W = integral0^1 (81t^2 -18t -9) dt
Calculando a integral:
W = [ 81 cdot t^33 - 18 cdot t^22 -9t ]0^1 = [ 27t^3 - 9t^2 -9t ]0^1
Substituindo t = 1 e t = 0:
W = (27(1)^3 - 9(1)^2 -9(1)) - (0) = 27 -9 -9 = 9 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força durante o deslocamento do bloco é de 9 , Jou<=s.

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