Um bloco maciço requer uma potência
para ser empurrado, com velocidade constante, para subir uma rampa inclinada de um ângulo
em relação à horizontal. O mesmo bloco requer uma potência Q quando empurrado com a mesma velocidade, em uma região plana de mesmo coeficiente de atrito. Supondo que a única fonte de dissipação seja o atrito entre o bloco e a superfície, determine o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco sendo empurrado para cima de uma rampa inclinada com potência
e na horizontal com potência
. Queremos descobrir o coeficiente de atrito
entre o bloco e a superfície. Para isso, vamos usar conceitos de potência, força, atrito e inclinação de rampas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que potência (
) é a taxa com que o trabalho é feito, e pode ser calculada pela fórmula:
onde
é a força aplicada e
é a velocidade constante.
Passo 3
Quando o bloco está subindo a rampa inclinada, a força que precisamos aplicar deve vencer tanto o atrito quanto a componente da força da gravidade que puxa o bloco para baixo. A força da gravidade nessa situação é:
onde:
-
é a massa do bloco, -
é a aceleração da gravidade, -
é o ângulo da rampa.
Passo 4
Além disso, a força de atrito (
) na rampa é dada por:
onde
é a força normal. Na rampa inclinada, a força normal é:
Então, substituindo:
Passo 5
Agora, a força total que precisamos aplicar para empurrar o bloco para cima da rampa é a soma das duas forças:
Passo 6
A potência necessária para empurrar o bloco na rampa é então:
Passo 7
Agora, vamos analisar a situação na superfície plana. Nessa condição, a única força que precisamos vencer é o atrito:
E a potência necessária é:
Passo 8
Temos duas equações para
e
. Vamos dividir a equação de
pela de
para eliminar
e
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos isolar
:
Invertendo os dois lados:
Resposta
O coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície é: