Um bloco maciço requer uma potência P para ser empurrado, com velocidade constante, para subir uma rampa inclinada de um ângulo theta em relação à horizontal. O mesmo bloco requer uma potência Q quando empurrado com a mesma velocidade, em uma região plana de mesmo coeficiente de atrito. Supondo que a única fonte de dissipação seja o atrito entre o bloco e a superfície, determine o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco sendo empurrado para cima de uma rampa inclinada com potência e na horizontal com potência . Queremos descobrir o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície. Para isso, vamos usar conceitos de potência, força, atrito e inclinação de rampas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que potência ( P = F cdot v ) é a taxa com que o trabalho é feito, e pode ser calculada pela fórmula:
onde é a força aplicada e é a velocidade constante.

Passo 3

Quando o bloco está subindo a rampa inclinada, a força que precisamos aplicar deve vencer tanto o atrito quanto a componente da força da gravidade que puxa o bloco para baixo. A força da gravidade nessa situação é:
Fgravidade = m cdot g cdot sin(theta)
onde:
  • é a massa do bloco,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o ângulo da rampa.

Passo 4

Além disso, a força de atrito ( Fatrito = mu cdot N ) na rampa é dada por:
N = m cdot g cdot cos(theta)
onde Fatrito = mu cdot m cdot g cdot cos(theta) é a força normal. Na rampa inclinada, a força normal é:
Então, substituindo:

Passo 5

Agora, a força total que precisamos aplicar para empurrar o bloco para cima da rampa é a soma das duas forças:
Ftotal = Fgravidade + Fatrito = m cdot g cdot sin(theta) + mu cdot m cdot g cdot cos(theta)

Passo 6

A potência necessária para empurrar o bloco na rampa é então:
P = Ftotal cdot v = ( m cdot g cdot sin(theta) + mu cdot m cdot g cdot cos(theta) ) cdot v

Passo 7

Agora, vamos analisar a situação na superfície plana. Nessa condição, a única força que precisamos vencer é o atrito:
Fplano = mu cdot m cdot g
E a potência necessária é:
Q = Fplano cdot v = mu cdot m cdot g cdot v

Passo 8

Temos duas equações para PQ = m cdot g cdot sin(theta) + mu cdot m cdot g cdot cos(theta)mu cdot m cdot g e PQ = g cdot sin(theta) + mu cdot g cdot cos(theta)mu cdot g . Vamos dividir a equação de PQ = sin(theta)mu + cos(theta) pela de para eliminar e :
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos isolar PQ - cos(theta) = sin(theta)mu :
mu = sin(theta)PQ - cos(theta)
Invertendo os dois lados:

Resposta

O coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície é:
mu = sin(theta)PQ - cos(theta)

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