Qual o trabalho realizado por uma força dada em Newtons por F=2 x i+3 j, onde x está em metros, que é exercida sobre uma partícula enquanto ela se move da posição, em metros, r1=2 i+3 j até a posição (em metros) r2=-4 i-3 j ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física sobre trabalho realizado por uma força. A força é dada por F=2x,i+3,j em Newtons, onde x está em metros. Precisamos encontrar o trabalho quando a partícula se move da posição r1=2,i+3,j até a posição r2=-4,i-3,j. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas de trabalho e como integrar forças variáveis ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho ( W) realizado por uma força ao mover um objeto ao longo de um caminho é calculado pela integral da força escalar na direção do deslocamento. Matemáticamente, isso é expresso como:
W = integralC F cdot dr
Onde:
  • F é a força aplicada.
  • dr é um elemento infinitesimal do deslocamento.
  • C é o caminho percorrido.

Passo 3

Nossa força é F=2x,i+3,j e o deslocamento é da posição r1=2,i+3,j até r2=-4,i-3,j. Vamos parametrizar o caminho. Para simplificar, vamos considerar que o movimento acontece ao longo de uma linha reta de r1 a r2.

Passo 4

Para parametrizar a linha reta, podemos expressar x e y em função de um parâmetro t, onde t varia de 0 a 1:
r(t) = r1 + t(r2 - r1) = (2,i+3,j) + t[(-4-2),i+(-3-3),j] = (2 - 6t),i + (3 - 6t),j
Então,
x(t) = 2 - 6t y(t) = 3 - 6t

Passo 5

Agora, vamos encontrar dr. Derivando r(t) em relação a t:
drdt = ddt[(2 - 6t),i + (3 - 6t),j] = -6,i -6,j
Então,
dr = (-6,i -6,j),dt

Passo 6

Substituindo F e dr na integral do trabalho:
W = integral0^1 F cdot dr = integral0^1 (2x,i + 3,j) cdot (-6,i -6,j),dt = integral0^1 [2x(-6) + 3(-6)],dt = integral0^1 (-12x -18),dt

Passo 7

Substituindo x(t) = 2 - 6t na integral:
W = integral0^1 [-12(2 - 6t) -18],dt = integral0^1 [-24 +72t -18],dt = integral0^1 (-42 +72t),dt

Passo 8

Agora, vamos integrar term by term:
W = integral0^1 -42,dt + integral0^1 72t,dt = -42t |0^1 + 36t^2 |0^1 = (-42 times 1 + 0) + (36 times 1^2 - 0) = -42 + 36 = -6, J

Resposta

O trabalho realizado pela força é -6, Jou<=s.

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