A velocidade v de um corpo em movimento retilínio, como função do tempo t, é dada por
v(t)=5,0(1-exp (-2 t))
onde t é dado em segundos e v em metros/segundo.
a) Qual é a aceleração do corpo no instante de tempo t=0 s ?
b) Qual é a máxima velocidade atingida pelo corpo?
c) Se em t=0 a posição do corpo é x(0)=2,5 m determine a posição do corpo como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre movimento retilíneo e nos dá a velocidade do corpo em função do tempo:
v(t) = 5,0(1 - exp(-2t))
Vamos precisar entender de cinemática, especificamente sobre aceleração e velocidade. Também vamos usar cálculo básico para integrar a velocidade e encontrar a posição.

Passo 2

a) Qual é a aceleração do corpo no instante de tempo t=0 , s?
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar v(t):
a(t) = dvdt = 5,0 cdot ddt(1 - exp(-2t)) = 5,0 cdot (0 - (-2)exp(-2t)) = 10 exp(-2t)
Agora, substituímos t = 0:
a(0) = 10 exp(0) = 10 cdot 1 = 10 , m/s² ²

Passo 3

b) Qual é a máxima velocidade atingida pelo corpo?
A máxima velocidade ocorre quando t tende ao infinito, ou seja, quando o termo exp(-2t) vai para zero:
vmax = 5,0 (1 - 0) = 5,0 , m/s

Passo 4

c) Se em t=0 a posição do corpo é x(0)=2,5 , m, determine a posição do corpo como função do tempo.
Para encontrar a posição, integramos a velocidade em relação ao tempo:
x(t) = integral v(t) , dt = integral 5,0 (1 - exp(-2t)) , dt = 5,0 ( t + 12 exp(-2t) ) + C
A constante de integração C é a posição inicial, que é 2,5 , m:
x(t) = 5,0t + 5,02 exp(-2t) + 2,5 = 5,0t + 2,5 exp(-2t) + 2,5
Podemos simplificar:
x(t) = 5,0t + 2,5 (exp(-2t) + 1)

Resposta

a) A aceleração no instante t=0 , s é 10 , m/s²².
b) A máxima velocidade atingida pelo corpo é 5,0 , m/s.
c) A posição do corpo em função do tempo é:
x(t) = 5,0t + 2,5 (exp(-2t) + 1)

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