Uma mola de constante k=250 N / m está pendurada num suporte rígido. Um corpo de massa 1 kg é preso na extremidade livre da mola e solto em repouso, com a mola no seu comprimento natural. (a) Até onde desce o corpo antes de principiar a subir? (b) A que distância da posição inicial está a posição de equilíbrio do corpo pendurado na mola? © Qual o período de oscilação? (d) Qual a velocidade do corpo ao atingir, pela primeira vez, a sua posição de equilíbrio? Em que instante o corpo atinge, pela primeira vez, a sua posição de equilíbrio?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma mola com constante elástica e um corpo de massa preso nela. Quando a gente solta o corpo, a mola estica e o corpo começa a oscilar. Vamos precisar usar conceitos de equilíbrio estático, movimento harmônico simples e leis de Newton para resolver as partes (a), (b), © e (d) do exercício.

Passo 2

Parte (a): Até onde desce o corpo antes de começar a subir?
Primeiro, vamos entender que quando o corpo é solto, ele começa a acelerar para baixo até que a força elástica da mola balance a força da gravidade. O ponto mais baixo que o corpo atinge antes de começar a subir é onde toda a energia potencial gravitacional foi convertida em energia potencial da mola.
A energia potencial gravitacional é dada por:
Ug = mgh
E a energia potencial da mola é:
Ue = 12 k x^2
No ponto mais baixo, essas energias se igualam:
mgh = 12 k x^2
Resolvendo para mgx = 12 k x^2 (que é o deslocamento 2mg = kx ):
x = 2mgk
x = 2 times 1 , kg times 9,8 , m/s^2250 , N/m
x = 19,6250
Substituindo os valores:
x = 0,0784 , m
x approx 7,84 , cm

Passo 3

Parte (b): A que distância da posição inicial está a posição de equilíbrio do corpo pendurado na mola?
A posição de equilíbrio é o ponto onde as forças da mola e da gravidade se equilibram, ou seja, onde a força elástica da mola iguala o peso do corpo.
A força elástica da mola é:
Fe = kx
E o peso do corpo é:
Fg = mg
No equilíbrio:
kx = mg
x = mgk
Substituindo os valores:
x = 1 , kg times 9,8 , m/s^2250 , N/m
x = 9,8250
x = 0,0392 , m
x approx 3,92 , cm

Passo 4

Parte ©: Qual o período de oscilação?
O período de oscilação de um sistema massa-mola é dado pela fórmula do movimento harmônico simples:
T = 2pi raizmk
Substituindo os valores:
T = 2pi raiz1 , kg250 , N/m
T = 2pi raiz0,004
T = 2pi times 0,0632
T approx 0,397 , s
Então, o período de oscilação é aproximadamente 0,40 segundos.

Passo 5

Parte (d): Qual a velocidade do corpo ao atingir, pela primeira vez, a sua posição de equilíbrio? Em que instante o corpo atinge, pela primeira vez, a sua posição de equilíbrio?
Primeiro, vamos encontrar a velocidade máxima que ocorre na posição de equilíbrio. No movimento harmônico simples, a velocidade máxima vmax = omega A é dada por:
omega = raizkm
Onde omega = raiz2501 é a frequência angular e omega = 15,81 , rad/s é a amplitude do movimento. No nosso caso, a amplitude é o deslocamento máximo vmax = 15,81 times 0,0784 .
A frequência angular vmax approx 1,24 , m/s é:
t = T4
t = 0,40 , s4
t = 0,10 , s
Então, a velocidade máxima é:
Agora, para saber em que instante o corpo atinge a posição de equilíbrio pela primeira vez, sabemos que isso ocorre no quarto do período do movimento (já que o movimento completo ocorre no período ).
Então, a velocidade do corpo ao atingir pela primeira vez a posição de equilíbrio é 1,24 m/s e isso ocorre 0,10 segundos após o início do movimento.

Resposta

(a) O corpo desce aproximadamente 7,84 cm antes de começar a subir.
(b) A posição de equilíbrio está a 3,92 cm da posição inicial.
© O período de oscilação é de cerca de 0,40 segundos.
(d) A velocidade do corpo ao atingir pela primeira vez a posição de equilíbrio é de 1,24 m/s, ocorrendo 0,10 segundos após o início do movimento.

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