Um relógio de pêndulo, que opera com uma amplitude muito pequena, adianta 5 minutos em cada dia. Qual a amplitude angular que deve ter o pêndulo para manter o tempo correto?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um relógio de pêndulo que está adiantando 5 minutos por dia. Queremos descobrir qual deve ser a amplitude angular do pêndulo para que o relógio funcione corretamente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre o período do pêndulo e como ele depende da amplitude.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período de um pêndulo simples para pequenas amplitudes é dado por:
onde:
  • é o comprimento do pêndulo,
  • é a aceleração da gravidade.
Esse é o tempo que o pêndulo leva para dar uma oscilação completa.

Passo 3

No entanto, essa fórmula é válida apenas para pequenas amplitudes (ângulos pequenos). Quando a amplitude aumenta, o período também muda. Para amplitudes maiores, o período aproximado é:
onde é a amplitude angular em radianos.
Isso significa que conforme a amplitude aumenta, o período também aumenta, fazendo o relógio andar mais devagar.

Passo 4

Agora, vamos ver o que está acontecendo com o relógio. Ele está adiantando 5 minutos por dia, ou seja, está funcionando mais rápido do que deveria. Para corrigir isso, precisamos aumentar o período do pêndulo, tornando o relógio mais lento.

Passo 5

Vamos calcular o acréscimo percentual no período necessário para corrigir o erro. Sabemos que um dia tem 1440 minutos. Se o relógio está adiantando 5 minutos, o erro relativo é:
Isso significa que o período precisa aumentar em aproximadamente 0,347%.

Passo 6

Usando a fórmula do período com amplitude maior:
Sabemos que o aumento relativo no período é:
Resolvendo para :

Passo 7

Convertendo radianos para graus (já que é mais intuitivo):

Resposta

A amplitude angular necessária para o pêndulo manter o tempo correto é de aproximadamente 13,5 graus.

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