Um relógio de pêndulo, que opera com uma amplitude muito pequena, adianta 5 minutos em cada dia. Qual a amplitude angular que deve ter o pêndulo para manter o tempo correto?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um relógio de pêndulo que está adiantando 5 minutos por dia. Queremos descobrir qual deve ser a amplitude angular do pêndulo para que o relógio funcione corretamente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre o período do pêndulo e como ele depende da amplitude.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período
de um pêndulo simples para pequenas amplitudes é dado por:
onde:
-
é o comprimento do pêndulo, -
é a aceleração da gravidade.
Esse é o tempo que o pêndulo leva para dar uma oscilação completa.
Passo 3
No entanto, essa fórmula é válida apenas para pequenas amplitudes (ângulos pequenos). Quando a amplitude aumenta, o período também muda. Para amplitudes maiores, o período aproximado é:
onde
é a amplitude angular em radianos.
Isso significa que conforme a amplitude aumenta, o período também aumenta, fazendo o relógio andar mais devagar.
Passo 4
Agora, vamos ver o que está acontecendo com o relógio. Ele está adiantando 5 minutos por dia, ou seja, está funcionando mais rápido do que deveria. Para corrigir isso, precisamos aumentar o período do pêndulo, tornando o relógio mais lento.
Passo 5
Vamos calcular o acréscimo percentual no período necessário para corrigir o erro. Sabemos que um dia tem 1440 minutos. Se o relógio está adiantando 5 minutos, o erro relativo é:
Isso significa que o período
precisa aumentar em aproximadamente 0,347%.
Passo 6
Usando a fórmula do período com amplitude maior:
Sabemos que o aumento relativo no período é:
Resolvendo para
:
Passo 7
Convertendo radianos para graus (já que é mais intuitivo):
Resposta
A amplitude angular necessária para o pêndulo manter o tempo correto é de aproximadamente 13,5 graus.