Um bloco de massa de 2,00kg é apoiado em uma mola em um plano, sem atrito, inclinado de 30º com a horizontal. A mola possui constante elástica k=200 N/m. Inicialmente o bloco comprime a mola por 2,0m, ficando em repouso na base do plano. Em seguida a mola é liberada transferindo sua energia ao bloco para que ele suba o plano inclinado. Se a energia mecânica do sistema se mantém constante, qual é a distância aproximada percorrida pelo bloco no plano inclinado, até atingir a altura máxima?
a. 40,8m
b. 20,8m
c. 50,8m
d. 30,8m
e. 10,8m

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve energia mecânica, especificamente energia elástica da mola e energia potencial gravitacional. A ideia é calcular até que distância o bloco vai subir na rampa inclinada depois que a mola libera sua energia. Pra resolver, vamos precisar entender como a energia armazenada na mola se transforma na energia que leva o bloco a subir.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia que está armazenada na mola quando ela está comprimida. A fórmula para a energia elástica de uma mola é:
Es = 12 k x^2
Onde:
  • $ E_s $ é a energia elástica,
  • $ k $ é a constante elástica da mola,
  • $ x $ é a deformação da mola.
No nosso caso, $ k = 200 , N/m $ e $ x = 2,0 , m $. Substituindo esses valores na fórmula:
Es
Então, a energia armazenada na mola é de 400 Joules.

Passo 3

Agora, vamos pensar na energia que o bloco ganha quando sobe na rampa. A energia potencial gravitacional é dada por:
Eg = m g h
Onde:
  • $ E_g $ é a energia potencial gravitacional,
  • $ m $ é a massa do bloco,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,8 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a altura que o bloco alcança.
Como a rampa está inclinada, a altura $ h $ pode ser relacionada à distância percorrida $ d $ através do seno do ângulo de inclinação ($ \theta = 30^\circ $):
Eg
Substituindo $ h $ na fórmula da energia potencial:
m

Passo 4

Segundo o enunciado, a energia mecânica se mantém constante, ou seja, a energia elástica da mola se transforma totalmente em energia potencial gravitacional:
Es = Eg
Substituindo as fórmulas que encontramos:
12 k x^2 = m g d sin(theta)
Já sabemos que $ E_s = 400 , J $, $ m = 2,00 , kg $, $ g = 9,8 , m/s^2 $, e $ \theta = 30^\circ $. Vamos isolar $ d $:
Es = 400 , J
Sabendo que $ \sin(30^\circ) = 0,5 $:
m = 2,00 , kg

Resposta

A distância aproximada percorrida pelo bloco até atingir a altura máxima é 40,8 metros. Alternativa a. 40,8m.

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