Um bloco A, de massa mA=10,4 kg, desliza sobre um plano inclinado S com inclinação theta=43,7^circ a uma velocidade constante, enquanto a prancha B, de massa mB=3,8 kg, está sobre A e em repouso pois está ligada por uma corda no topo do plano (Figura). Se o coeficiente de atrito cinético entre A e B for igual ao coeficiente de atrito cinético entre S e A , qual é o seu valor?

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos dois blocos, o bloco A com massa de 10,4 kg deslizando sobre um plano inclinado com um ângulo de 43,7°, e o bloco B com massa de 3,8 kg que está em cima do bloco A, mas está parado porque está conectado a uma corda no topo do plano. A velocidade do bloco A é constante, o que significa que não está acelerando. Queremos descobrir o valor do coeficiente de atrito cinético entre os blocos, sabendo que é o mesmo entre o plano inclinado e o bloco A. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica em planos inclinados e forças de atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando no bloco A. No plano inclinado, o bloco A está sujeito a:
  1. Peso (P_A): A força gravitacional que puxa o bloco para baixo, com magnitude , onde é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
  2. Componente do peso paralela ao plano (P_{A_{\parallel}}): Esta é a parte do peso que faz o bloco deslizar para baixo pelo plano, calculada por .
  3. Componente do peso perpendicular ao plano (P_{A_{\perp}}): Esta força pressiona o bloco contra o plano, calculada por .
  4. Força de atrito (f_A): Essa força age na direção oposta ao movimento e é proporcional à força normal. Como o movimento é constante, a força de atrito equilibrará outras forças atuantes.
  5. Tensão na corda (T): A corda está conectada ao bloco B, exercendo uma força para cima no bloco A.

Passo 3

Agora, vamos expressar matematicamente essas forças. Para o bloco A, a condição de movimento com velocidade constante significa que a soma das forças paralelas ao plano é zero:
PAparal<=l - fA - T = 0
Substituindo as expressões das forças:
mA cdot g cdot sin(theta) - fA - T = 0

Passo 4

Vamos analisar as forças atuando no bloco B. Como o bloco B está em repouso, a soma das forças sobre ele também é zero. As forças são:
  1. Peso do bloco B (P_B): T - fB - mB cdot g = 0 .
  2. Força de atrito entre A e B (f_B): Atua na direção oposta ao movimento relativo entre os blocos.
  3. Tensão na corda (T): Equilibra a força de atrito.
Assim, a equação de equilíbrio para o bloco B é:

Passo 5

Sabemos que a força de atrito f = mu cdot N é dada por:
NA = mA cdot g cdot cos(theta)
Onde:
  • NB = mB cdot g é o coeficiente de atrito cinético.
  • é a força normal.
Para o bloco A, a força normal no plano inclinado é:
E para o bloco B, a força normal entre A e B é:

Passo 6

Substituindo as forças de atrito nas equações dos blocos:
Para o bloco A:
mA cdot g cdot sin(theta) - mu cdot mA cdot g cdot cos(theta) - mu cdot mB cdot g = 0
Aqui, usamos que a força de atrito entre A e B ( ) é .

Passo 7

Podemos isolar mA cdot g cdot sin(theta) = mu cdot mA cdot g cdot cos(theta) + mu cdot mB cdot g na equação:
mA cdot sin(theta) = mu (mA cdot cos(theta) + mB)
Fatorando :

Passo 8

Agora, isolamos mu = mA cdot sin(theta)mA cdot cos(theta) + mB :

Passo 9

Substituindo os valores fornecidos:
  • sin(43,7^circ) approx 0,690 cos(43,7^circ) approx 0,723
  • mu = 10,4 cdot 0,69010,4 cdot 0,723 + 3,8 approx 7,1767,519 + 3,8 = 7,17611,319 approx 0,634
Calculamos o seno e cosseno de :
Substituindo na fórmula:

Resposta

O coeficiente de atrito cinético é aproximadamente .

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