Toroide com duas bobinas. No Problema 1, N é o número de espiras no enrolamento e i1 a corrente nesse mesmo enrolamento. Sobrepondo-se a um segundo enrolamento de N2 espiras sobre o primeiro, de modo que essas duas bobinas fiquem isoladas. c) mostre que se N1 neq N 2 a indutância mútua é dada por M=raizL1 L2.
Resp. a) M=mu0 N1 N2 h ln (b / a) / 2 pi

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um toroide com duas bobinas:
  • Primeira bobina: possui M = raizL1 L2 espiras e transporta uma corrente .
  • Segunda bobina: possui espiras, está sobreposta à primeira e fica isolada dela.
O objetivo é mostrar que, se , a indutância mútua é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de autoindutância e indutância mútua, além de como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é autoindutância. A autoindutância L = Phii de uma bobina é a propriedade que mede a capacidade da bobina de gerar um fluxo magnético ( L1 = Phi11i1 e L2 = Phi22i2 ) quando uma corrente ( ) passa por ela. A fórmula é:
Assim, para as duas bobinas temos:
Onde:
  • é o fluxo magnético através da primeira bobina devido à sua própria corrente.
  • é o fluxo magnético através da segunda bobina devido à sua própria corrente.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a indutância mútua M = Phi21i1 = Phi12i2 . Essa grandeza mede como a variação de corrente em uma bobina induz um fluxo magnético na outra bobina. A definição é:
Onde:
  • é o fluxo magnético na segunda bobina induzido pela corrente da primeira.
  • é o fluxo magnético na primeira bobina induzido pela corrente da segunda.

Passo 4

Para relacionar U = 12 L1 i1^2 + 12 L2 i2^2 + M i1 i2 , e , vamos considerar a energia magnética armazenada no sistema das duas bobinas. A energia total é dada por:
Essa expressão leva em conta:
  • A energia armazenada na primeira bobina ( ).
  • A energia armazenada na segunda bobina ( ).
  • A energia de acoplamento entre as bobinas devido à indutância mútua ( ).

Passo 5

Vamos agora calcular a autoindutância de cada bobina no toroide. Para um toroide com L = mu0 N^2 h ln(b/a)2pi espiras, a autoindutância L1 = mu0 N1^2 h ln(b/a)2pi e L2 = mu0 N2^2 h ln(b/a)2pi é dada por:
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo.
  • é a altura do toroide.
  • e são os raios interno e externo do toroide, respectivamente.
Aplicando isso para as duas bobinas:

Passo 6

Agora, vamos calcular a indutância mútua M = mu0 N1 N2 h ln(b/a)2pi entre as duas bobinas. A fórmula para raizL1 L2 = raiz( mu0 N1^2 h ln(b/a)2pi ) ( mu0 N2^2 h ln(b/a)2pi ) = mu0 N1 N2 h ln(b/a)2pi = M em um toroide é:
Observando as expressões de e , podemos notar que:

Resposta

Portanto, demonstramos que se M = raizL1 L2 , a indutância mútua é dada por:

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