Um bloco de massa 12 kg desce deslizando por um plano inclinado 35^circ desde o repouso e é parado por uma mola forte com k=3,00 times 10^4 N / m. O bloco desliza 3,00 m desde o ponto em que é solto até o ponto onde para contra a mola. Quando o bloco atinge o repouso, quanto foi comprimida a mola?
Resposta: d=0,116 m.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. A gente tem um bloco de 12 kg que desce por um plano inclinado de 35 graus e, ao final, bate numa mola super forte que tem constante elástica . O bloco começa do repouso e desliza 3 metros até parar completamente na mola. Nosso objetivo é descobrir quanto a mola foi comprimida quando o bloco parou. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial gravitacional, energia potencial elástica e a Lei da Conservação da Energia.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia que o bloco tem no início e como ela se transforma. No começo, o bloco está no repouso, então sua energia cinética é zero. A única energia que ele tem é a energia potencial gravitacional devido à altura que ele está em relação ao ponto final.
A energia potencial gravitacional ( Ug = m cdot g cdot h ) é dada por:
onde:
  • é a massa (12 kg),
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ),
  • é a altura.

Passo 3

Mas o bloco não está se movendo verticalmente, ele está descendo um plano inclinado. Precisamos relacionar a distância percorrida no plano ( h = d cdot sin(theta) ) com a altura . Isso pode ser feito usando trigonometria.
A altura pode ser encontrada pela relação:
onde .

Passo 4

Vamos calcular h = 3,00 , m cdot sin(35^circ) approx 3,00 , m cdot 0,5736 approx 1,7208 , m :

Passo 5

Agora, calculamos a energia potencial gravitacional inicial:
Ug = 12 , kg cdot 9,8 , m/s^2 cdot 1,7208 , m approx 12 cdot 9,8 cdot 1,7208 approx 202,52 , J

Passo 6

Quando o bloco para na mola, toda essa energia potencial gravitacional foi transformada em energia potencial elástica ( Ue = 12 k d^2 ) da mola. A energia potencial elástica é dada por:
onde:
  • ,
  • é a compressão da mola que queremos encontrar.

Passo 7

Igualamos as energias para aplicar a conservação da energia:
Ug = Ue Rightarrow 202,52 , J = 12 cdot 3,00 times 10^4 , N/m cdot d^2

Passo 8

Resolvendo para 202,52 &= 12 cdot 3,00 times 10^4 cdot d^2 202,52 &= 1,50 times 10^4 cdot d^2 d^2 &= 202,521,50 times 10^4 d^2 &= 0,0135 d &= raiz0,0135 d &approx 0,116 , m :

Resposta

A mola foi comprimida aproximadamente .

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