Este problema ilustra como uma expressão para um dos potenciais termodinâmicos em função de suas variáveis naturais contém a informação necessária para obter expressões para os outros potenciais termodinâmicos e muitas outras funções de estado.
Da teoria mecânica estatística, um modelo simples para um líquido hipotético de
Aqui a, b e c são constantes. Derive expressões para as seguintes funções de estado deste líquido hipotético como funções de T, V e n.
(a) entropia, pressão, potencial químico, (d) energia interna, (e) entalpia, (f) energia de Gibbs, calor capacidade a volume constante, A capacidade térmica a pressão constante, , use a expressão para p para resolver como uma função de , p e n; então use .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre termodinâmica. A gente tem uma expressão para o potencial termodinâmico em função de (temperatura), (volume) e (número de mols). Vamos precisar usar conceitos de mecânica estatística e algumas fórmulas termodinâmicas para derivar outras funções de estado como entropia, pressão, potencial químico, energia interna, entalpia, energia de Gibbs, e capacidades térmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o potencial termodinâmico é também conhecido como Energia de Helmholtz e é dado por:
Onde é a constante dos gases, e , , são constantes específicas do líquido hipotético.

Passo 3

Para encontrar a entropia , usamos a relação:
Vamos derivar em relação a , mantendo constante.

Passo 4

Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar a pressão , usamos:
Derivamos em relação a , mantendo constante.

Passo 6

Derivando em relação a :
Então:

Passo 7

Para o potencial químico , usamos:
Derivamos em relação a , mantendo e constantes.

Passo 8

Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 9

Para a energia interna , usamos:
Já temos e , então substituímos:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 10

Para a entalpia , usamos:
Já temos e , então:
Simplificando:

Passo 11

Para a energia de Gibbs , usamos:
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 12

Para a capacidade térmica a volume constante , usamos:
Derivamos em relação a , mantendo constante.

Passo 13

Derivando :

Passo 14

Para a capacidade térmica a pressão constante , usamos:
Primeiro, resolvemos como função de , e usando a expressão para :
Agora derivamos em relação a :
Substituindo e :

Resposta

As expressões derivadas são:
(a) Entropia:
Pressão:
Potencial químico:
(d) Energia interna:
(e) Entalpia:
(f) Energia de Gibbs:
(g) Capacidade térmica a volume constante:
(h) Capacidade térmica a pressão constante:

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