Este problema ilustra como uma expressão para um dos potenciais termodinâmicos em função de suas variáveis naturais contém a informação necessária para obter expressões para os outros potenciais termodinâmicos e muitas outras funções de estado.
Da teoria mecânica estatística, um modelo simples para um líquido hipotético de
Aqui a, b e c são constantes. Derive expressões para as seguintes funções de estado deste líquido hipotético como funções de T, V e n.
(a) entropia,
pressão,
potencial químico, (d) energia interna,
(e) entalpia,
(f) energia de Gibbs,
calor capacidade a volume constante,
A capacidade térmica a pressão constante,
, use a expressão para p para resolver
como uma função de
, p e n; então use
.
Da teoria mecânica estatística, um modelo simples para um líquido hipotético de
(a) entropia,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre termodinâmica. A gente tem uma expressão para o potencial termodinâmico
em função de
(temperatura),
(volume) e
(número de mols). Vamos precisar usar conceitos de mecânica estatística e algumas fórmulas termodinâmicas para derivar outras funções de estado como entropia, pressão, potencial químico, energia interna, entalpia, energia de Gibbs, e capacidades térmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o potencial termodinâmico
é também conhecido como Energia de Helmholtz e é dado por:
Onde
é a constante dos gases, e
,
,
são constantes específicas do líquido hipotético.
Passo 3
Para encontrar a entropia
, usamos a relação:
Vamos derivar
em relação a
, mantendo
constante.
Passo 4
Derivando
em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar a pressão
, usamos:
Derivamos
em relação a
, mantendo
constante.
Passo 6
Derivando
em relação a
:
Então:
Passo 7
Para o potencial químico
, usamos:
Derivamos
em relação a
, mantendo
e
constantes.
Passo 8
Derivando
em relação a
:
Simplificando:
Passo 9
Para a energia interna
, usamos:
Já temos
e
, então substituímos:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 10
Para a entalpia
, usamos:
Já temos
e
, então:
Simplificando:
Passo 11
Para a energia de Gibbs
, usamos:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 12
Para a capacidade térmica a volume constante
, usamos:
Derivamos
em relação a
, mantendo
constante.
Passo 13
Derivando
:
Passo 14
Para a capacidade térmica a pressão constante
, usamos:
Primeiro, resolvemos
como função de
,
e
usando a expressão para
:
Agora derivamos
em relação a
:
Substituindo
e
:
Resposta
As expressões derivadas são:
(a) Entropia:
Pressão:
Potencial químico:
(d) Energia interna:
(e) Entalpia:
(f) Energia de Gibbs:
(g) Capacidade térmica a volume constante:
(h) Capacidade térmica a pressão constante: