Este problema ilustra como uma expressão para um dos potenciais termodinâmicos em função de suas variáveis naturais contém a informação necessária para obter expressões para os outros potenciais termodinâmicos e muitas outras funções de estado.
Da teoria mecânica estatística, um modelo simples para um líquido hipotético de
A=-n R T ln [c T^3 / 2(Vn-b)]-n R T+n a
Aqui a, b e c são constantes. Derive expressões para as seguintes funções de estado deste líquido hipotético como funções de T, V e n.
(a) entropia, S(b) pressão, p(c) potencial químico, (d) energia interna, U (e) entalpia, H (f) energia de Gibbs, G(g) calor capacidade a volume constante, CV(h) A capacidade térmica a pressão constante, Cp, use a expressão para p para resolver V como uma função de T, p e n; então use H=U+p V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre termodinâmica. A gente tem uma expressão para o potencial termodinâmico em função de (temperatura), (volume) e (número de mols). Vamos precisar usar conceitos de mecânica estatística e algumas fórmulas termodinâmicas para derivar outras funções de estado como entropia, pressão, potencial químico, energia interna, entalpia, energia de Gibbs, e capacidades térmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o potencial termodinâmico A = -n R T ln [c T^3 / 2(Vn-b)] - n R T + n a é também conhecido como Energia de Helmholtz e é dado por:
Onde é a constante dos gases, e , , são constantes específicas do líquido hipotético.

Passo 3

Para encontrar a entropia S = -( partial Apartial T )V , usamos a relação:
Vamos derivar em relação a , mantendo constante.

Passo 4

Derivando partial Apartial T = -n R ln [c T^3 / 2(Vn-b)] - n R T ( 32T ) cdot 1ln [c T^3 / 2(Vn-b)] em relação a S = n R ln [c T^3 / 2(Vn-b)] + 32 n R :
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar a pressão p = -( partial Apartial V )T , usamos:
Derivamos em relação a , mantendo constante.

Passo 6

Derivando partial Apartial V = -n R T cdot 1c T^3 / 2(Vn-b) cdot c T^3 / 2n (Vn-b) = n R TVn-b em relação a p = n R TV - n b :
Então:

Passo 7

Para o potencial químico mu = ( partial Apartial n )T,V , usamos:
Derivamos em relação a , mantendo e constantes.

Passo 8

Derivando mu = -R T ln [c T^3 / 2(Vn-b)] - R T - n R T cdot (-V/n^2)Vn-b + a em relação a mu = -R T ln [c T^3 / 2(Vn-b)] - R T + R T VV - n b + a :
Simplificando:

Passo 9

Para a energia interna U = A + T S , usamos:
U = A + T ( n R ln [c T^3 / 2(Vn-b)] + 32 n R )
Já temos U = -n R T ln [c T^3 / 2(Vn-b)] - n R T + n a + n R T ln [c T^3 / 2(Vn-b)] + 32 n R T e U = -n R T + n a + 32 n R T = 12 n R T + n a , então substituímos:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 10

Para a entalpia H = U + p V , usamos:
H = 12 n R T + n a + n R TV - n b cdot V
Já temos H = 12 n R T + n a + n R T VV - n b e , então:
Simplificando:

Passo 11

Para a energia de Gibbs G = H - T S , usamos:
G = ( 12 n R T + n a + n R T VV - n b ) - T ( n R ln [c T^3 / 2(Vn-b)] + 32 n R )
Substituindo G = 12 n R T + n a + n R T VV - n b - n R T ln [c T^3 / 2(Vn-b)] - 32 n R T e G = n a + n R T VV - n b - n R T ln [c T^3 / 2(Vn-b)] - n R T :
Simplificando:

Passo 12

Para a capacidade térmica a volume constante CV = ( partial Upartial T )V , usamos:
Derivamos em relação a , mantendo constante.

Passo 13

Derivando CV = partialpartial T ( 12 n R T + n a ) = 12 n R :

Passo 14

Para a capacidade térmica a pressão constante Cp = CV + T ( partial ppartial T )V ( partial Vpartial T )p , usamos:
p = n R TV - n b Rightarrow V = n R Tp + n b
Primeiro, resolvemos Cp = ( partial Hpartial T )p = partial Upartial T + p partial Vpartial T como função de Cp = 12 n R + p cdot n Rp = 12 n R + n R = 32 n R , e usando a expressão para :
Agora derivamos em relação a :
Substituindo e :

Resposta

As expressões derivadas são:
(a) Entropia:
S = n R ln [c T^3 / 2(Vn-b)] + 32 n R
Pressão:
p = n R TV - n b
Potencial químico:
mu = -R T ln [c T^3 / 2(Vn-b)] - R T + R T VV - n b + a
(d) Energia interna:
U = 12 n R T + n a
(e) Entalpia:
H = 12 n R T + n a + n R T VV - n b
(f) Energia de Gibbs:
G = n a + n R T VV - n b - n R T ln [c T^3 / 2(Vn-b)] - n R T
(g) Capacidade térmica a volume constante:
CV = 12 n R
(h) Capacidade térmica a pressão constante:
Cp = 32 n R

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