Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa M, raio R e comprimento L. O cilindro é solto a partir do repouso.
Determine a tração em cada um dos fios.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos duas cordas presas ao teto e enroladas em um cilindro sólido de massa , raio e comprimento . Ao soltar o cilindro a partir do repouso, precisamos determinar a tração em cada uma das cordas. Para resolver esse problema, vamos utilizar os conceitos de dinâmica translação e rotação, aplicando as leis de Newton para movimento linear e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as forças atuando no cilindro. As duas trações nas cordas, e , estão puxando para cima, enquanto o peso do cilindro, , está puxando para baixo. A aceleração linear do cilindro será .

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento linear:
T1 + T2 - M g = M a
Isso nos dá a primeira equação relacionando as tensões e a aceleração.

Passo 4

Agora, consideramos a rotação do cilindro. As tensões nas cordas também causam um torque que faz o cilindro girar. O torque total tau = (T1 + T2) R é dado por:
tau = I alpha
Por outro lado, segundo a segunda lei de Newton para rotação:
onde é o momento de inércia do cilindro e é a aceleração angular. Para um cilindro sólido, .

Passo 5

A relação entre a aceleração linear a = R alpha Rightarrow alpha = aR e a aceleração angular (T1 + T2) R = 12 M R^2 ( aR ) é:
T1 + T2 = 12 M a
Substituindo na equação do torque:
Simplificando:

Passo 6

Agora temos duas equações:
T1 + T2 - M g = M a T1 + T2 = 12 M a
Subtraindo a segunda equação da primeira:
-M g = M a - 12 M a Rightarrow -M g = 12 M a
Resolvendo para a = -2 g :
O sinal negativo indica que a aceleração é para baixo.

Passo 7

Substituindo T1 + T2 = 12 M (2 g) = M g na segunda equação:
T1 = T2 = M g2
Como as trações são iguais, temos:

Resposta

A tração em cada um dos fios é .

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