Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa , raio e comprimento . O cilindro é solto a partir do repouso.
Determine a tração em cada um dos fios.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos duas cordas presas ao teto e enroladas em um cilindro sólido de massa , raio e comprimento . Ao soltar o cilindro a partir do repouso, precisamos determinar a tração em cada uma das cordas. Para resolver esse problema, vamos utilizar os conceitos de dinâmica translação e rotação, aplicando as leis de Newton para movimento linear e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as forças atuando no cilindro. As duas trações nas cordas, e , estão puxando para cima, enquanto o peso do cilindro, , está puxando para baixo. A aceleração linear do cilindro será .

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento linear:
Isso nos dá a primeira equação relacionando as tensões e a aceleração.

Passo 4

Agora, consideramos a rotação do cilindro. As tensões nas cordas também causam um torque que faz o cilindro girar. O torque total é dado por:
Por outro lado, segundo a segunda lei de Newton para rotação:
onde é o momento de inércia do cilindro e é a aceleração angular. Para um cilindro sólido, .

Passo 5

A relação entre a aceleração linear e a aceleração angular é:
Substituindo na equação do torque:
Simplificando:

Passo 6

Agora temos duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Resolvendo para :
O sinal negativo indica que a aceleração é para baixo.

Passo 7

Substituindo na segunda equação:
Como as trações são iguais, temos:

Resposta

A tração em cada um dos fios é .

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