Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa
, raio
e comprimento
. O cilindro é solto a partir do repouso.
Determine a tração em cada um dos fios.
Determine a tração em cada um dos fios.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos duas cordas presas ao teto e enroladas em um cilindro sólido de massa
, raio
e comprimento
. Ao soltar o cilindro a partir do repouso, precisamos determinar a tração em cada uma das cordas. Para resolver esse problema, vamos utilizar os conceitos de dinâmica translação e rotação, aplicando as leis de Newton para movimento linear e rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as forças atuando no cilindro. As duas trações nas cordas,
e
, estão puxando para cima, enquanto o peso do cilindro,
, está puxando para baixo. A aceleração linear do cilindro será
.
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento linear:
Isso nos dá a primeira equação relacionando as tensões e a aceleração.
Passo 4
Agora, consideramos a rotação do cilindro. As tensões nas cordas também causam um torque que faz o cilindro girar. O torque total
é dado por:
Por outro lado, segundo a segunda lei de Newton para rotação:
onde
é o momento de inércia do cilindro e
é a aceleração angular. Para um cilindro sólido,
.
Passo 5
A relação entre a aceleração linear
e a aceleração angular
é:
Substituindo na equação do torque:
Simplificando:
Passo 6
Agora temos duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Resolvendo para
:
O sinal negativo indica que a aceleração é para baixo.
Passo 7
Substituindo
na segunda equação:
Como as trações são iguais, temos:
Resposta
A tração em cada um dos fios é
.