Pelo mesmo método, mostre que o incremento de entropia durante a expansão reversível, dado pela expressão
é uma diferencial exata, de modo que a entropia é uma função de estado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de termodinâmica que pede para mostrar que o incremento de entropia durante uma expansão reversível, dado por
, é uma diferencial exata. Isso significa que a entropia
é uma função de estado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são diferenciais exatas e funções de estado, além de usar um pouco de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma diferencial exata. Em cálculo, uma diferencial é dita exata se ela pode ser expressa como a derivada total de alguma função. No nosso caso, queremos mostrar que
pode ser escrita como a derivada total de
, o que significaria que
depende apenas do estado atual do sistema, e não de como ele chegou lá.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão dada:
. Aqui,
é uma quantidade de calor adicionada ao sistema e
é a temperatura. Para que
seja uma diferencial exata, a relação entre
e
deve satisfazer certas condições matemáticas conhecidas como as condições de integrabilidade.
Passo 4
As condições de integrabilidade para uma diferencial de primeira ordem, como
, envolvem verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se
puder ser escrito como
, devemos ter
. Se isso for verdadeiro, então a diferencial é exata.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, precisamos expressar
em termos de variáveis termodinâmicas, como volume
e pressão
ou temperatura
. Supondo que a expansão seja reversible e usando a primeira lei da termodinâmica, podemos relacionar
com
(variação da energia interna) e trabalho
.
Passo 6
Para uma expansão reversível, o trabalho
é dado por
. A primeira lei da termodinâmica nos diz que
. Substituindo
, temos
.
Passo 7
Agora, a expressão para
fica
. Se
for uma função de estado, então essa expressão deve ser uma diferencial exata. Vamos verificar as condições de integrabilidade.
Passo 8
Considerando que
é uma função de estado, podemos escrever
em termos de
e
:
. Substituindo isso na expressão de
, temos:
Passo 9
Simplificando, obtemos:
Agora, identificamos
e
.
Passo 10
Para satisfazer as condições de integrabilidade, devemos ter:
Calculando as derivadas:
Passo 11
Depois de realizar essas derivadas e simplificar, você verá que
é satisfeita, o que confirma que
é uma diferencial exata. Portanto, a entropia
é realmente uma função de estado.
Resposta
Concluímos que
é uma diferencial exata, o que significa que a entropia
é uma função de estado.