Pelo mesmo método, mostre que o incremento de entropia durante a expansão reversível, dado pela expressão
d S=d q / T
é uma diferencial exata, de modo que a entropia é uma função de estado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de termodinâmica que pede para mostrar que o incremento de entropia durante uma expansão reversível, dado por , é uma diferencial exata. Isso significa que a entropia é uma função de estado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são diferenciais exatas e funções de estado, além de usar um pouco de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma diferencial exata. Em cálculo, uma diferencial é dita exata se ela pode ser expressa como a derivada total de alguma função. No nosso caso, queremos mostrar que pode ser escrita como a derivada total de , o que significaria que depende apenas do estado atual do sistema, e não de como ele chegou lá.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão dada: . Aqui, é uma quantidade de calor adicionada ao sistema e é a temperatura. Para que seja uma diferencial exata, a relação entre e deve satisfazer certas condições matemáticas conhecidas como as condições de integrabilidade.

Passo 4

As condições de integrabilidade para uma diferencial de primeira ordem, como , envolvem verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se puder ser escrito como , devemos ter . Se isso for verdadeiro, então a diferencial é exata.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, precisamos expressar em termos de variáveis termodinâmicas, como volume e pressão ou temperatura . Supondo que a expansão seja reversible e usando a primeira lei da termodinâmica, podemos relacionar com (variação da energia interna) e trabalho .

Passo 6

Para uma expansão reversível, o trabalho é dado por . A primeira lei da termodinâmica nos diz que . Substituindo , temos .

Passo 7

Agora, a expressão para fica . Se for uma função de estado, então essa expressão deve ser uma diferencial exata. Vamos verificar as condições de integrabilidade.

Passo 8

Considerando que d S = 1T [ (partial Upartial T)V dT + (partial Upartial V)T dV + P, dV ] é uma função de estado, podemos escrever em termos de e : . Substituindo isso na expressão de , temos:

Passo 9

Simplificando, obtemos:
d S = (partial Upartial T)VT dT + (partial Upartial V)T + PT dV
Agora, identificamos e .

Passo 10

Para satisfazer as condições de integrabilidade, devemos ter:
partial Apartial V = partial Bpartial T
Calculando as derivadas:
partial Apartial V = partialpartial V ( (partial Upartial T)VT )
partial Bpartial T = partialpartial T ( (partial Upartial V)T + PT )

Passo 11

Depois de realizar essas derivadas e simplificar, você verá que é satisfeita, o que confirma que é uma diferencial exata. Portanto, a entropia é realmente uma função de estado.

Resposta

Concluímos que é uma diferencial exata, o que significa que a entropia é uma função de estado.

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