O bloco de massa
escorrega sobre uma superfície horizontal plana lubrificada com óleo. Nesta superfície, o bloco sofre uma força resistiva
sendo uma constante positiva. Se o bloco estava inicialmente com uma velocidade
.
Encontre
e
.
Encontre
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um bloco com massa
deslizando sobre uma superfície horizontal que está lubrificada com óleo. Nesse cenário, o bloco sente uma força resistiva que depende da velocidade, dada por
, onde
é uma constante positiva. Inicialmente, o bloco tem uma velocidade
. Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade
e a posição
do bloco mudam ao longo do tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica e cinemática, especialmente a segunda lei de Newton e a resolução de equações diferenciais que descrevem o movimento com força resistiva dependente da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Aqui, a força resultante é a força resistiva
, e a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Então, temos:
Passo 3
Vamos rearranjar essa equaç��o para separarmos as variáveis
e
. Isso facilita a resolução:
Agora, isolamos os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar de
(velocidade inicial) até
e de
até
:
Calculando as integrais:
Passo 5
Substituindo os limites de integração:
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 2:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao poder de
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar a posição
integrando a velocidade em relação ao tempo:
Assumindo que
(posição inicial), substituímos
:
Passo 8
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Então,
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 9
Calculando a integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Resposta
As soluções para a velocidade e a posição do bloco ao longo do tempo são:
e
Exercícios relacionados
A partícula de massa
é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade,
.
Encontre a função horária da posição.
Encontre a função horária da posição.
Calcule:
onde R é dado pelas desigualdades
e os planos coordenados.
Use a regra da cadeia para expressar
. Depois calcule o valor no ponto dado
Considere que um paraquedista de massa
é solto no instante
velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo
. Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Determine a velocidade em função do tempo.
Determine a velocidade em função do tempo.