O bloco de massa m escorrega sobre uma superfície horizontal plana lubrificada com óleo. Nesta superfície, o bloco sofre uma força resistiva F(v) = -b * v^(3/2) com b sendo uma constante positiva. Se o bloco estava inicialmente com uma velocidade v0.
Encontre v(t) e x(t).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um bloco com massa m deslizando sobre uma superfície horizontal que está lubrificada com óleo. Nesse cenário, o bloco sente uma força resistiva que depende da velocidade, dada por , onde b é uma constante positiva. Inicialmente, o bloco tem uma velocidade . Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade v(t) e a posição x(t) do bloco mudam ao longo do tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica e cinemática, especialmente a segunda lei de Newton e a resolução de equações diferenciais que descrevem o movimento com força resistiva dependente da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Aqui, a força resultante é a força resistiva , e a aceleração a é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Então, temos:

Passo 3

Vamos rearranjar essa equaç��o para separarmos as variáveis v e t. Isso facilita a resolução:
Agora, isolamos os termos que envolvem v de um lado e os que envolvem t do outro:

Passo 4

Para encontrar v(t), precisamos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar de (velocidade inicial) até v(t) e de 0 até t:
Calculando as integrais:

Passo 5

Substituindo os limites de integração:
Vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por -1:
Dividindo por 2:

Passo 6

Agora, vamos resolver para v(t). Primeiro, elevamos ambos os lados ao poder de -2:
Podemos simplificar um pouco mais:

Passo 7

Agora que temos v(t), podemos encontrar a posição x(t) integrando a velocidade em relação ao tempo:
Assumindo que (posição inicial), substituímos v(t):

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Então, , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 9

Calculando a integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Resposta

As soluções para a velocidade e a posição do bloco ao longo do tempo são:
e

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