O bloco de massa escorrega sobre uma superfície horizontal plana lubrificada com óleo. Nesta superfície, o bloco sofre uma força resistiva sendo uma constante positiva. Se o bloco estava inicialmente com uma velocidade .
Encontre e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um bloco com massa deslizando sobre uma superfície horizontal que está lubrificada com óleo. Nesse cenário, o bloco sente uma força resistiva que depende da velocidade, dada por , onde é uma constante positiva. Inicialmente, o bloco tem uma velocidade . Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade e a posição do bloco mudam ao longo do tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica e cinemática, especialmente a segunda lei de Newton e a resolução de equações diferenciais que descrevem o movimento com força resistiva dependente da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Aqui, a força resultante é a força resistiva , e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Então, temos:

Passo 3

Vamos rearranjar essa equaç��o para separarmos as variáveis e . Isso facilita a resolução:
Agora, isolamos os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro:

Passo 4

Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar de (velocidade inicial) até e de até :
Calculando as integrais:

Passo 5

Substituindo os limites de integração:
Vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 2:

Passo 6

Agora, vamos resolver para . Primeiro, elevamos ambos os lados ao poder de :
Podemos simplificar um pouco mais:

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar a posição integrando a velocidade em relação ao tempo:
Assumindo que (posição inicial), substituímos :

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Então, , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 9

Calculando a integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Resposta

As soluções para a velocidade e a posição do bloco ao longo do tempo são:
e

Exercícios relacionados

A partícula de massa é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade, .
Encontre a função horária da posição.
Calcule:
onde R é dado pelas desigualdades e os planos coordenados.
Use a regra da cadeia para expressar . Depois calcule o valor no ponto dado
Considere que um paraquedista de massa é solto no instante velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo . Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Determine a velocidade em função do tempo.