A partícula de massa m é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade, F(v) = -b v.
Encontre a função horária da posição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa m que é solta do repouso e está sujeita à gravidade e a uma força resistiva proporcional à velocidade, dada por . Nosso objetivo é encontrar a função que descreve a posição dessa partícula ao longo do tempo, ou seja, a posição y(t).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais, já que a força dependente da velocidade envolve derivadas em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na partícula. Temos:
  1. Força da gravidade: , onde g é a aceleração da gravidade.
  2. Força resistiva: , que é proporcional à velocidade v e age no sentido oposto ao movimento.
Então, a força resultante que age na partícula é a soma dessas duas forças:

Passo 3

Segundo a Segunda Lei de Newton, a força resultante é igual ao produto da massa pela aceleração:
Como a aceleração a é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por m:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o método do fator integrante.

Passo 5

Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão:
O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
A integral do lado direito é:
Então:

Passo 8

Dividindo ambos os lados por para resolver para v:
Usando a condição inicial :
Então a velocidade é:

Passo 9

Agora, para encontrar a posição y(t), precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Usando a condição inicial :
Então a posição é:
Simplificando:

Resposta

A função horária da posição é:

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