A partícula de massa
é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade,
.
Encontre a função horária da posição.
Encontre a função horária da posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa
que é solta do repouso e está sujeita à gravidade e a uma força resistiva proporcional à velocidade, dada por
. Nosso objetivo é encontrar a função que descreve a posição dessa partícula ao longo do tempo, ou seja, a posição
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais, já que a força dependente da velocidade envolve derivadas em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na partícula. Temos:
- Força da gravidade:
, onde é a aceleração da gravidade. - Força resistiva:
, que é proporcional à velocidade e age no sentido oposto ao movimento.
Então, a força resultante
que age na partícula é a soma dessas duas forças:
Passo 3
Segundo a Segunda Lei de Newton, a força resultante é igual ao produto da massa pela aceleração:
Como a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o método do fator integrante.
Passo 5
Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão:
O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
A integral do lado direito é:
Então:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por
para resolver para
:
Usando a condição inicial
:
Então a velocidade é:
Passo 9
Agora, para encontrar a posição
, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Usando a condição inicial
:
Então a posição é:
Simplificando:
Resposta
A função horária da posição é: