Calcule:
I=integral triplaR^square integral^2(x^2+y^2) d x d y d z
onde R é dado pelas desigualdades x^2+y^2+z^2 <= 1 e os planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que está relacionada ao cálculo de volumes e integrais múltiplas em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e talvez mudar para coordenadas mais adequadas, como cilíndricas ou esféricas, para simplificar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é definida pela desigualdade e pelos planos coordenados. Isso significa que estamos trabalhando dentro de uma esfera de raio 1 centrada na origem e no primeiro octante (onde , e são positivos).

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos e por e , respectivamente, e permanece o mesmo. A função também fica mais simples: .

Passo 4

A equação da esfera em coordenadas cilíndricas fica . Então, para cada , varia de 0 até . Além disso, varia de 0 a 1, e varia de 0 a para cobrir o primeiro octante.

Passo 5

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
I = integral0^pi2 integral0^1 integral0^raiz1 - r^2 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, no final é o fator jacobiano que aparece na mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a integral0^raiz1 - r^2 dz = raiz1 - r^2 , depois I = integral0^pi2 integral0^1 r^3 cdot raiz1 - r^2 , dr , dtheta , e por último .
Integrando em :
Então a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a integral0^1 r^3 cdot raiz1 - r^2 , dr = 12 integral0^1 (1 - u) raizu , du . Para isso, usamos substituição 12 ( integral0^1 raizu , du - integral0^1 u raizu , du ) = 12 ( 23 - 25 ) = 12 cdot 415 = 215 , então . Ajustando a integral:
Essa integral pode ser resolvida expandindo e integrando termo a termo:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a I = integral0^pi2 215 , dtheta = 215 cdot pi2 = pi15 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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