Calcule:
onde R é dado pelas desigualdades
e os planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que está relacionada ao cálculo de volumes e integrais múltiplas em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e talvez mudar para coordenadas mais adequadas, como cilíndricas ou esféricas, para simplificar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela é definida pela desigualdade
e pelos planos coordenados. Isso significa que estamos trabalhando dentro de uma esfera de raio 1 centrada na origem e no primeiro octante (onde
,
e
são positivos).
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos
e
por
e
, respectivamente, e
permanece o mesmo. A função
também fica mais simples:
.
Passo 4
A equação da esfera
em coordenadas cilíndricas fica
. Então, para cada
,
varia de 0 até
. Além disso,
varia de 0 a 1, e
varia de 0 a
para cobrir o primeiro octante.
Passo 5
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui,
no final é o fator jacobiano que aparece na mudança para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a
, depois
, e por último
.
Integrando em
:
Então a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
. Para isso, usamos substituição
, então
. Ajustando a integral:
Essa integral pode ser resolvida expandindo e integrando termo a termo:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.