Calcule:
onde R é dado pelas desigualdades e os planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que está relacionada ao cálculo de volumes e integrais múltiplas em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e talvez mudar para coordenadas mais adequadas, como cilíndricas ou esféricas, para simplificar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é definida pela desigualdade e pelos planos coordenados. Isso significa que estamos trabalhando dentro de uma esfera de raio 1 centrada na origem e no primeiro octante (onde , e são positivos).

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos e por e , respectivamente, e permanece o mesmo. A função também fica mais simples: .

Passo 4

A equação da esfera em coordenadas cilíndricas fica . Então, para cada , varia de 0 até . Além disso, varia de 0 a 1, e varia de 0 a para cobrir o primeiro octante.

Passo 5

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, no final é o fator jacobiano que aparece na mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a , depois , e por último .
Integrando em :
Então a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a . Para isso, usamos substituição , então . Ajustando a integral:
Essa integral pode ser resolvida expandindo e integrando termo a termo:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Utilizando coordenadas esféricas,
Calcule , onde é a bola com centro na origem e raio 5 .
Calcule , onde é o hemisfério sólido .
Calcule , onde está entre as esferas
e .
Calcule , onde é o hemisfério sólido
.
Calcule , onde é a porção da bola unitária que fica no primeiro octante.
Calcule , onde fica entre as esferas e acima do cone .
Encontre o volume da parte da bola a que está entre os cones e .
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a seu centro.
As funções e são contínuas em . A integral
determina a função soma. Prove essa propriedade.
A partícula de massa é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade, .
Encontre a função horária da posição.
O bloco de massa escorrega sobre uma superfície horizontal plana lubrificada com óleo. Nesta superfície, o bloco sofre uma força resistiva sendo uma constante positiva. Se o bloco estava inicialmente com uma velocidade .
Encontre e .