Um bloco de massa 1 Kg distende uma mola em . No instante , o bloco é solto de um ponto a 10 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de . Determine a função que descreve o movimento livre subsequente. Determine também o período e a frequência do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco de 1 kg que estica uma mola em metros. No instante , o bloco é solto de um ponto que está 10 metros abaixo da posição de equilíbrio, com uma velocidade inicial de 14 m/s. Nosso objetivo aqui é encontrar a função que descreve o movimento do bloco depois que ele é solto. Além disso, vamos calcular o período e a frequência desse movimento. Para isso, vamos usar conhecimentos de movimento harmônico simples (MHS) e leis de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a constante da mola . Sabemos que a mola se estica metros sob a ação do peso do bloco. A força exercida pela mola é dada por , onde é a deformação. Essa força deve equilibrar o peso do bloco, que é . Então, temos:
Aqui, kg e m/s². Vamos resolver para :

Passo 3

Agora que temos a constante da mola N/m, vamos determinar a equação do movimento. No movimento harmônico simples, a posição em função do tempo é dada por:
onde:
  • e são constantes que determinamos pelas condições iniciais,
  • é a frequência angular, dada por .
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e . As condições são:
  • Em , metros (10 metros abaixo do equilíbrio),
  • A velocidade inicial m/s.
Primeiro, aplicamos na função :
Agora, vamos derivar para obter a velocidade :
Aplicamos na velocidade:

Passo 5

Agora que temos e , substituímos na equação de :
Essa é a função que descreve o movimento do bloco ao longo do tempo.

Passo 6

Vamos calcular o período e a frequência do movimento. O período é o tempo que o bloco leva para completar uma oscilação completa, e está relacionado com pela fórmula:
Substituindo rad/s:
A frequência é o inverso do período:

Resposta

A função que descreve o movimento do bloco é:
O período do movimento é aproximadamente segundos e a frequência é Hz.

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