Um bloco de massa 1 Kg distende uma mola em
. No instante
, o bloco é solto de um ponto a 10 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de
. Determine a função
que descreve o movimento livre subsequente. Determine também o período e a frequência do movimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco de 1 kg que estica uma mola em
metros. No instante
, o bloco é solto de um ponto que está 10 metros abaixo da posição de equilíbrio, com uma velocidade inicial de 14 m/s. Nosso objetivo aqui é encontrar a função
que descreve o movimento do bloco depois que ele é solto. Além disso, vamos calcular o período e a frequência desse movimento. Para isso, vamos usar conhecimentos de movimento harmônico simples (MHS) e leis de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a constante da mola
. Sabemos que a mola se estica
metros sob a ação do peso do bloco. A força exercida pela mola é dada por
, onde
é a deformação. Essa força deve equilibrar o peso do bloco, que é
. Então, temos:
Aqui,
kg e
m/s². Vamos resolver para
:
Passo 3
Agora que temos a constante da mola
N/m, vamos determinar a equação do movimento. No movimento harmônico simples, a posição
em função do tempo é dada por:
onde:
-
e são constantes que determinamos pelas condições iniciais, -
é a frequência angular, dada por .
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
. As condições são:
- Em
, metros (10 metros abaixo do equilíbrio), - A velocidade inicial
m/s.
Primeiro, aplicamos
na função
:
Agora, vamos derivar
para obter a velocidade
:
Aplicamos
na velocidade:
Passo 5
Agora que temos
e
, substituímos na equação de
:
Essa é a função que descreve o movimento do bloco ao longo do tempo.
Passo 6
Vamos calcular o período
e a frequência
do movimento. O período é o tempo que o bloco leva para completar uma oscilação completa, e está relacionado com
pela fórmula:
Substituindo
rad/s:
A frequência
é o inverso do período:
Resposta
A função que descreve o movimento do bloco é:
O período do movimento é aproximadamente
segundos e a frequência é
Hz.
Exercícios relacionados
Encontre o gradiente para a função dada, no ponto
.
-
.
Encontre o gradiente para a função dada, no ponto
.
-
.
Encontre o gradiente para a função dada, no ponto
.
Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta.