Encontre o gradiente para a função dada, no ponto P.
  • f(x, y, z) = e^x cos(y) - e^y sen(z), P = (0, pi/4, pi/3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função no ponto . O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais para determinar o gradiente, que basicamente nos dá a direção de maior crescimento da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a , e . Ou seja:
Então, precisamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a :
Como e são tratados como constantes em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos cada termo em relação a :

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Diferenciando em relação a :

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto .
Para :
Para :
Para :

Resposta

O gradiente da função no ponto é:

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