Encontre o gradiente para a função dada, no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função no ponto . O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais para determinar o gradiente, que basicamente nos dá a direção de maior crescimento da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a , e . Ou seja:
Então, precisamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a :
Como e são tratados como constantes em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos cada termo em relação a :

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Diferenciando em relação a :

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto .
Para :
Para :
Para :

Resposta

O gradiente da função no ponto é:

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Um bloco de massa 1 Kg distende uma mola em . No instante , o bloco é solto de um ponto a 10 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de . Determine a função que descreve o movimento livre subsequente. Determine também o período e a frequência do movimento.
Encontre o gradiente para a função dada, no ponto .
  • .
Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta.
Encontre o gradiente para a função dada, no ponto .
  • .