Um bloco com massa de 2,2 kg, inicialmente parado, desce por uma rampa inclinada de theta=38^circ em relação à horizontal. O bloco sai do repouso e percorre uma distância de 3,0 m ao longo da rampa antes de atingir a mola, que tem k=1000,0 N / m. Considere que há atrito entre o bloco e a rampa com muc=0,20. Qual seria a máxima distância de compressão da mola?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um bloco de massa 2,2,kg que começa parado e desce uma rampa inclinada de 38^circ. Ele percorre 3,0,m na rampa antes de bater numa mola com constante k = 1000,N/m. Tem atrito na rampa com o coeficiente muc = 0,20. Nosso objetivo é descobrir qual é a máxima compressão que a mola vai ter. Vamos precisar usar conceitos de Energia e Forças na Inclinação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no bloco enquanto ele desce a rampa. As forças principais são:
  1. Força da Gravidade ( Fg): Puxa o bloco para baixo.
  2. Força de Atrito ( f): Resiste ao movimento.
  3. Força da Mola ( Fm): Vai atuar quando o bloco começar a comprimir a mola.
A força da gravidade pode ser decomposta em duas partes: uma paralela à rampa e outra perpendicular. A parte que realmente faz o bloco descer é a componente paralela.

Passo 3

Vamos calcular a componente da força da gravidade paralela à rampa. A fórmula é:
Fgparal<=l = m cdot g cdot sin(theta)
Onde:
  • m = 2,2,kg
  • g = 9,8,m/s^2 (aceleração da gravidade)
  • theta = 38^circ
Substituindo os valores:
Fgparal<=l = 2,2 cdot 9,8 cdot sin(38^circ)
Vamos calcular:
sin(38^circ) approx 0,6157
Então,
Fgparal<=l = 2,2 cdot 9,8 cdot 0,6157 approx 13,2,N

Passo 4

Agora, vamos calcular a força de atrito que age contra o movimento do bloco. A fórmula é:
f = muc cdot N
Onde:
  • muc = 0,20
  • N é a força normal, que na rampa é dada por N = m cdot g cdot cos(theta)
Calculando N:
N = 2,2 cdot 9,8 cdot cos(38^circ)
Sabendo que:
cos(38^circ) approx 0,7880
Então,
N = 2,2 cdot 9,8 cdot 0,7880 approx 16,9,N
Agora, calculamos o atrito:
f = 0,20 cdot 16,9 approx 3,38,N

Passo 5

Vamos agora calcular o trabalho total realizado pelas forças enquanto o bloco percorre os 3,0,m na rampa.
O trabalho realizado pela força da gravidade é:
Wg = Fgparal<=l cdot d = 13,2,N cdot 3,0,m = 39,6,J
O trabalho realizado pela força de atrito é negativo, pois atua contra o movimento:
Wf = -f cdot d = -3,38,N cdot 3,0,m approx -10,14,J

Passo 6

A energia total transferida para a mola é a diferença entre o trabalho da gravidade e o trabalho do atrito:
Emola = Wg + Wf = 39,6,J - 10,14,J approx 29,46,J
A energia armazenada na mola quando ela é comprimida é dada por:
Emola = 12 k x^2
Onde:
  • k = 1000,N/m
  • x é a compressão da mola que queremos encontrar.

Passo 7

Vamos igualar as energias e resolver para x:
12 k x^2 = 29,46,J
Multiplicando ambos os lados por 2:
k x^2 = 58,92,J
Agora, isolamos x^2:
x^2 = 58,921000 = 0,05892,m^2
Tirando a raiz quadrada:
x = raiz0,05892 approx 0,2425,m

Resposta

A máxima distância de compressão da mola é aproximadamente 0,2425,m.

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