Um bloco com massa de
, inicialmente parado, desce por uma rampa inclinada de
em relação à horizontal. O bloco sai do repouso e percorre uma distância de
ao longo da rampa antes de atingir a mola, que tem
. Considere que há atrito entre o bloco e a rampa com
. Qual seria a máxima distância de compressão da mola?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um bloco de massa
que começa parado e desce uma rampa inclinada de
. Ele percorre
na rampa antes de bater numa mola com constante
. Tem atrito na rampa com o coeficiente
. Nosso objetivo é descobrir qual é a máxima compressão que a mola vai ter. Vamos precisar usar conceitos de Energia e Forças na Inclinação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no bloco enquanto ele desce a rampa. As forças principais são:
- Força da Gravidade (
): Puxa o bloco para baixo. - Força de Atrito (
): Resiste ao movimento. - Força da Mola (
): Vai atuar quando o bloco começar a comprimir a mola.
A força da gravidade pode ser decomposta em duas partes: uma paralela à rampa e outra perpendicular. A parte que realmente faz o bloco descer é a componente paralela.
Passo 3
Vamos calcular a componente da força da gravidade paralela à rampa. A fórmula é:
Onde:
-
-
(aceleração da gravidade) -
Substituindo os valores:
Vamos calcular:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a força de atrito que age contra o movimento do bloco. A fórmula é:
Onde:
-
-
é a força normal, que na rampa é dada por
Calculando
:
Sabendo que:
Então,
Agora, calculamos o atrito:
Passo 5
Vamos agora calcular o trabalho total realizado pelas forças enquanto o bloco percorre os
na rampa.
O trabalho realizado pela força da gravidade é:
O trabalho realizado pela força de atrito é negativo, pois atua contra o movimento:
Passo 6
A energia total transferida para a mola é a diferença entre o trabalho da gravidade e o trabalho do atrito:
A energia armazenada na mola quando ela é comprimida é dada por:
Onde:
-
-
é a compressão da mola que queremos encontrar.
Passo 7
Vamos igualar as energias e resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, isolamos
:
Tirando a raiz quadrada:
Resposta
A máxima distância de compressão da mola é aproximadamente
.