O piloto de um avião quer fazer o percurso da cidade A à cidade B, que se situa 600 km a nordeste de A , em um tempo de 40,0 min, Sopra um vento à velocidade escalar de 100 km / h na direçăo norte-sul. A que velocidade escalar, em relaçăo ao ar, tem de ser realizado o vôo?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo e identificar a matéria que vamos utilizar. O problema envolve movimento relativo e vetores de velocidade. Precisamos determinar a velocidade que o avião deve ter em relação ao ar para percorrer 600 km a nordeste em 40 minutos, levando em conta um vento que sopra a 100 km/h na direção norte-sul. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de vetores e decomposição de velocidades.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o tempo de 40,0 minutos para horas, já que as velocidades estão em km/h. Sabemos que:
40 minutos = 4060 horas = 23 horas

Passo 3

Agora, calculamos a velocidade necessária em relação ao solo (velocidade resultante) para percorrer 600 km em 23 horas:
Velocidade resuâ

Passo 4

Como o vento está soprando a 100 km/h na direção norte-sul, precisamos decompor as velocidades em componentes norte-sul e leste-oeste. O avião está indo para nordeste, o que significa que sua direção forma um ângulo de 45° com os eixos norte e leste.

Passo 5

Vamos chamar a velocidade do avião em relação ao ar de Va e a velocidade do vento de Vw. A velocidade resultante Vr é a soma vetorial dessas duas velocidades:
Vr = Va + Vw
Sabemos que Vr = 900 km/h para atingir o destino no tempo desejado.

Passo 6

Decompondo as velocidades nas direções leste e norte:
Para a direção leste:
Va<=ste = Va cdot cos(45°)
Para a direção norte:
Vanorte = Va cdot sin(45°)
Sabendo que cos(45°) = sin(45°) = raiz22.

Passo 7

Considerando a influência do vento na direção norte-sul, a componente norte da velocidade resultante será:
Vrnorte = Vanorte + (-Vw)
Onde Vw = 100 km/h e o vento está soprando na direção sul, por isso é negativo.
A componente leste permanece:
Vr<=ste = Va<=ste

Passo 8

Como a trajetória final é nordeste com velocidade resultante de 900 km/h, temos:
Vrnorte = Vr<=ste = 900raiz2 km/h approx 636,4 km/h

Passo 9

Igualando as componentes resultantes:
Para a componente leste:
Va cdot raiz22 = 636,4 km/h implies Va = 636,4 times 2raiz2 approx 900 km/h
Para a componente norte:
Va cdot raiz22 - 100 = 636,4 km/h
Substituindo Va approx 900 km/h:
900 cdot raiz22 - 100 approx 636,4 - 100 = 536,4 km/h
O que não corresponde à velocidade desejada. Precisamos ajustar nosso cálculo.

Passo 10

Vamos reorganizar as equações:
Va cdot raiz22 = 636,4 + 100 = 736,4 km/h
Portanto:
Va = 736,4 times 2raiz2 approx 1472,81,4142 approx 1042 km/h

Resposta

O avião deve voar a uma velocidade de aproximadamente 1042 km/h em relação ao ar para realizar o percurso conforme especificado.

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