Um bloco com massa de 1,7 kg está, inicialmente, parado sobre uma superfície horizontal, com atrito desprezível. Uma força dada por F=5 x^2 N, então começa a agir sobre o corpo, onde x é sua posição em metros ao longo de uma linha reta. Qual a velocidade do bloco após ele percorrer uma distância de 2,0 m?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui! Temos um bloco de massa 1,7, kg que está parado em uma superfície sem atrito. De repente, uma força que depende da posição, dada por F = 5x^2, N, começa a empurrar o bloco ao longo de uma linha reta. A pergunta é: qual será a velocidade do bloco depois que ele tiver percorrido 2,0, m?
Aqui, vamos usar conceitos de Trabalho e Energia da física. Precisamos calcular o trabalho realizado pela força para determinar a energia do bloco e, por consequência, sua velocidade final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho ( W) realizado por uma força que varia com a posição pode ser encontrado através da integral da força em relação à posição. A fórmula é:
W = integralxi^xf F(x) , dx
Onde:
  • F(x) = 5x^2, N é a força que varia com a posição.
  • xi e xf são as posições inicial e final, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o trabalho realizado pela força ao longo dos 2,0, m. Como o bloco parte do repouso, a posição inicial xi = 0, m e a posição final xf = 2,0, m. Substituindo na integral:
W = integral0^2,0 5x^2 , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral:
W = 5 integral0^2,0 x^2 , dx = 5 [ x^33 ]0^2,0 = 5 ( (2,0)^33 - 0^33 ) = 5 ( 83 ) = 403, J
Então, o trabalho realizado é 403, J.

Passo 5

De acordo com o Princípio do Trabalho e Energia, o trabalho realizado pela força resultante é igual à variação da energia cinética do objeto:
W = De
Como o bloco parte do repouso, v0 = 0, então:
403 = 12 times 1,7 times v^2

Passo 6

Agora, vamos resolver para v:
403 = 12 times 1,7 times v^2 403 = 0,85 times v^2 v^2 = 403 times 0,85 v^2 = 402,55 v^2 approx 15,69 v approx raiz15,69 v approx 3,96, m/s

Resposta

A velocidade do bloco após percorrer 2,0, m é aproximadamente 3,96, m/s.

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