A função psi(x)=psi0 e^i k x descreve uma partícula livre para a qual foi suposto que U(x)=0 na equação de Schrödinger:
d^2 psid x^2+8 pi^2 mh^2[E-U(x)] psi=0
Suponha que U(x)=U0, onde U0 é uma constante. Mostre que psi(x)=psi0 e^i k x continua a ser uma solução de (1), mas o valor do número de onda angular k da partícula passa a ser:
k=2 pih raiz2 m(E-U0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda d^2 psid x^2 + 8 pi^2 mh^2[E - U(x)] psi = 0 que descreve uma partícula livre, ou seja, sem potencial externo ( k = 2 pih raiz2 m (E - U0) ). A equação que descreve essa situação é a equação de Schrödinger:
Agora, a gente vai mudar o cenário: suponha que , uma constante. A tarefa é mostrar que a função de onda ainda é uma solução dessa nova equação, mas o número de onda angular muda para:
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos substituir d^2d x^2 ( psi0 e^i k x ) + 8 pi^2 mh^2 [E - U0] psi0 e^i k x = 0 na equação de Schrödinger com :

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de ddx e^i k x = i k e^i k x em relação a d^2d x^2 e^i k x = (i k)^2 e^i k x = -k^2 e^i k x . Sabemos que:
d^2d x^2 ( psi0 e^i k x ) = -k^2 psi0 e^i k x
Então,
Portanto,

Passo 4

Agora, substituímos essa segunda derivada de volta na equação de Schrödinger:
-k^2 psi0 e^i k x + 8 pi^2 mh^2 (E - U0) psi0 e^i k x = 0
Podemos fatorar psi0 e^i k x ( -k^2 + 8 pi^2 mh^2 (E - U0) ) = 0 :

Passo 5

Para que essa equação seja verdadeira para todo -k^2 + 8 pi^2 mh^2 (E - U0) = 0 , o coeficiente dentro dos parênteses deve ser zero:
k^2 = 8 pi^2 mh^2 (E - U0)
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados para encontrar k = raiz 8 pi^2 mh^2 (E - U0) :
k = 2 pih raiz2 m (E - U0)
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:

Resposta

Assim, mostramos que k = 2 pih raiz2 m (E - U0) continua sendo uma solução da equação de Schrödinger quando , e o número de onda angular passa a ser:

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento de onda de (b) um elétron com uma energia de 1 eV ;
Um bloco com massa de 1,7 kg está, inicialmente, parado sobre uma superfície horizontal, com atrito desprezível. Uma força dada por F=5 x^2 N, então começa a agir sobre o corpo, onde x é sua posição em metros ao longo de uma linha reta. Qual a velocidade do bloco após ele percorrer uma distância de 2,0 m?
Você precisa de um circuito filtro para eliminar um sinal de 60 Hz e frequências baixas. Você decide projetar um filtro passa-alta que tenha uma frequência de cutoff de 200 Hz . Se você utilizasse o circuito da figura abaixo, qual a capacitância C que você deveria utilizar, se R=50 Omega? Qual a fração de qualquer diferença de potencial do sinal de 60 Hz que passa através do circuito?
Questão 1 (2,5 pontos)
Observa-se que um pulso requer 0,1 s para se propagar de um a outro extremo fixos de uma longa corda. A onda é produzida porque a corda passa por uma polia que suspende um objeto cuja massa é 100 vezes maior que a massa da corda. (a) Determine o comprimento da corda. (b) Quais são a frequência fundamental e as frequências dos harmônicos dos modos de vibração da corda?