A função
descreve uma partícula livre para a qual foi suposto que
na equação de Schrödinger:
Suponha que
, onde
é uma constante. Mostre que
continua a ser uma solução de (1), mas o valor do número de onda angular
da partícula passa a ser:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda
que descreve uma partícula livre, ou seja, sem potencial externo (
). A equação que descreve essa situação é a equação de Schrödinger:
Agora, a gente vai mudar o cenário: suponha que
, uma constante. A tarefa é mostrar que a função de onda
ainda é uma solução dessa nova equação, mas o número de onda angular
muda para:
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na equação de Schrödinger com
:
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. Sabemos que:
Então,
Portanto,
Passo 4
Agora, substituímos essa segunda derivada de volta na equação de Schrödinger:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, o coeficiente dentro dos parênteses deve ser zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados para encontrar
:
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Resposta
Assim, mostramos que
continua sendo uma solução da equação de Schrödinger quando
, e o número de onda angular
passa a ser:
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Questão 1 (2,5 pontos)
Observa-se que um pulso requer 0,1 s para se propagar de um a outro extremo fixos de uma longa corda. A onda é produzida porque a corda passa por uma polia que suspende um objeto cuja massa é 100 vezes maior que a massa da corda. (a) Determine o comprimento da corda. (b) Quais são a frequência fundamental e as frequências dos harmônicos dos modos de vibração da corda?
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