Um bloco de massa M=5,4 kg, em repouso sobre ume mesa horizontal sem atrito, está ligado a um suporte rígido através de uma mola de constante elástica k=6,0 cdot 10^3 N / m. Um projétil de masse m=9,5 kg e velocidade v de módulo 6,3 cdot 10^2 m / s atinge o bloco e fica alojado nele. Supondo que a compressão da mola é desprezivel até o projétil se alojar no bloco, determine (a) a velocidade do bloco imediatamente após a colisão e (b) a amplitude do movimento harmônico simples. (2,0t)
De
P-P0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco de massa parado numa mesa sem atrito, preso a uma mola com constante elástica . Um projétil de massa com velocidade atinge e se encaixa no bloco. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) A velocidade do bloco imediatamente após a colisão.
b) A amplitude do movimento harmônico simples que o sistema vai fazer.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação do momento linear e de mola em movimento harmônico simples.

Passo 2

Parte a: Velocidade do bloco imediatamente após a colisão
Primeiro, vamos entender que como a mesa não tem atrito e a colisão ocorre de forma que o projétil fica preso no bloco, podemos aplicar a conservação do momento linear. Isso significa que o momentum total antes da colisão é igual ao momentum total depois.
A fórmula da conservação do momento linear é:
m cdot v = (M + m) cdot V
Onde:
  • V = m cdot vM + m é a massa do projétil,
  • é a velocidade do projétil antes da colisão,
  • é a massa do bloco,
  • é a velocidade final do sistema bloco + projétil.
Queremos encontrar , então rearranjamos a equação:

Passo 3

Agora, substituímos os valores fornecidos:
m = 9,5 , kg, v = 6,3 times 10^2 , m/s, M = 5,4 , kg
Então:
V = 9,5 , kg times 6,3 times 10^2 , m/s5,4 , kg + 9,5 , kg = 6,0 times 10^3 , kg cdot m/s14,9 , kg approx 403,36 , m/s

Passo 4

Parte b: Amplitude do movimento harmônico simples
Após a colisão, o sistema bloco + projétil vai oscilar devido à mola. A energia cinética do sistema será transformada em energia potencial da mola no ponto de máxima compressão, que corresponde à amplitude EC = 12 (M + m) V^2 do movimento.
A energia cinética inicial do sistema após a colisão é:
EP = 12 k A^2
A energia potencial da mola na compressão máxima é:
EC = EP
Pelo princípio da conservação de energia:
12 (M + m) V^2 = 12 k A^2
Então:
A = raiz (M + m) V^2k
Podemos cancelar o e rearranjar para encontrar :

Passo 5

Substituindo os valores que já temos:
M + m = 5,4 , kg + 9,5 , kg = 14,9 , kg
V = 403,36 , m/s
k = 6,0 times 10^3 , N/m
Então:
A = raiz 14,9 , kg times (403,36 , m/s)^26,0 times 10^3 , N/m = raiz 14,9 times 1,627 times 10^56,0 times 10^3 = raiz 2,425 times 10^66,0 times 10^3 = raiz404,17 approx 20,1 , m

Resposta

a) A velocidade do bloco imediatamente após a colisão é aproximadamente .
b) A amplitude do movimento harmônico simples é aproximadamente .

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