Calcular o volume do tetraedro ABCD , sendo dados:
A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e D(4,2,7)

Passo 1

Então, vamos calcular o volume de um tetraedro, que é uma figura com quatro vértices. Neste caso, os vértices são os pontos A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e D(4,2,7). Para resolver isso, vamos usar uma fórmula que envolve vetores e determinantes na geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um dos pontos como referência. Vou escolher o ponto A(1,0,0). Agora, vamos criar vetores que vão de A para cada um dos outros pontos:
  • Vetor AB = B - A = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)
  • Vetor AC = C - A = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)
  • Vetor AD = D - A = (4-1, 2-0, 7-0) = (3, 2, 7)

Passo 3

Agora, colocamos esses vetores em uma matriz M = -1 & -1 & 3 1 & 0 & 2 0 & 1 & 7 , onde cada vetor é uma coluna da matriz:

Passo 4

O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz det(M) = (-1)(0)(7) + (-1)(2)(0) + 3(1)(1) - 3(0)(0) - (-1)(2)(1) - (-1)(1)(7) . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado utilizando a regra de Sarrus:
det(M) = 0 + 0 + 3 - 0 + 2 + 7 = 12
Simplificando os cálculos:

Passo 5

Com o determinante em mãos, podemos calcular o volume V = |det(M)|6 do tetraedro usando a fórmula:
V = 126 = 2
Substituindo o valor que encontramos:

Resposta

O volume do tetraedro ABCD é igual a 2 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados