Calcular o volume do tetraedro ABCD , sendo dados: e
Passo 1
Então, vamos calcular o volume de um tetraedro, que é uma figura com quatro vértices. Neste caso, os vértices são os pontos A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e D(4,2,7). Para resolver isso, vamos usar uma fórmula que envolve vetores e determinantes na geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um dos pontos como referência. Vou escolher o ponto A(1,0,0). Agora, vamos criar vetores que vão de A para cada um dos outros pontos:
Vetor AB = B - A = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)
Vetor AC = C - A = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)
Vetor AD = D - A = (4-1, 2-0, 7-0) = (3, 2, 7)
Passo 3
Agora, colocamos esses vetores em uma matriz , onde cada vetor é uma coluna da matriz:
Passo 4
O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado utilizando a regra de Sarrus:
Simplificando os cálculos:
Passo 5
Com o determinante em mãos, podemos calcular o volume do tetraedro usando a fórmula:
Substituindo o valor que encontramos:
Resposta
O volume do tetraedro ABCD é igual a 2 unidades cúbicas.