Determinar o vetor x tal que x cdot(1,4,-3)=-7 e x times(4,-2,1)=(3,5,-2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor que satisfaz duas condições: o produto escalar com o vetor deve ser igual a e o produto vetorial com o vetor deve ser igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produto escalar e produto vetorial, e montar um sistema de equações para encontrar os componentes de .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o vetor de forma geral: . Nosso objetivo é descobrir os valores de , e .

Passo 3

Vamos usar a condição do produto escalar: x1 cdot 1 + x2 cdot 4 + x3 cdot (-3) = -7 . O produto escalar de dois vetores x1 + 4x2 - 3x3 = -7 (Equação 1) e é calculado como . Aplicando isso:
Ou seja:
çã

Passo 4

Agora, vamos usar a condição do produto vetorial: x2 cdot 1 - x3 cdot (-2) = 3 x3 cdot 4 - x1 cdot 1 = 5 x1 cdot (-2) - x2 cdot 4 = -2 . O produto vetorial de x2 + 2x3 = 3 (Equação 2) 4x3 - x1 = 5 (Equação 3) -2x1 - 4x2 = -2 (Equação 4) e resulta em um novo vetor cujas componentes são dadas por:
Simplificando:
çãçãçã

Passo 5

Agora temos um sistema de quatro equações com três incógnitas. Vamos resolver passo a passo.
Primeiro, da Equação 3:
4x3 - x1 = 5 implies x1 = 4x3 - 5 (Expressão para x1) ã
Substituímos -2(4x3 - 5) - 4x2 = -2 -8x3 + 10 - 4x2 = -2 -8x3 - 4x2 = -12 na Equação 4:
2x3 + x2 = 3 (Equação 5)
Dividindo por x2 = 3 - 2x3 :
(4x3 - 5) + 4(3 - 2x3) - 3x3 = -7 4x3 - 5 + 12 - 8x3 - 3x3 = -7 -7x3 + 7 = -7 -7x3 = -14 x3 = 2 çã
Comparando com a Equação 2 ( x2 = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1 ), vemos que são essencialmente a mesma equação. Isso indica que podemos usar Equação 1 e Equação 2 para encontrar os valores de x1 = 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3 , e .
Da Equação 2:
Substituímos e na Equação 1:
Agora, encontramos . Substituindo de volta:
E para :

Resposta

O vetor que satisfaz as condições dadas é .

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