Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor que satisfaz duas condições: o produto escalar com o vetor deve ser igual a e o produto vetorial com o vetor deve ser igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produto escalar e produto vetorial, e montar um sistema de equações para encontrar os componentes de .
Passo 2
Primeiro, vamos representar o vetor de forma geral: . Nosso objetivo é descobrir os valores de , e .
Passo 3
Vamos usar a condição do produto escalar: . O produto escalar de dois vetores e é calculado como . Aplicando isso:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição do produto vetorial: . O produto vetorial de e resulta em um novo vetor cujas componentes são dadas por:
Simplificando:
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Passo 5
Agora temos um sistema de quatro equações com três incógnitas. Vamos resolver passo a passo.
Primeiro, da Equação 3:
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Substituímos na Equação 4:
Dividindo por :
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Comparando com a Equação 2 (), vemos que são essencialmente a mesma equação. Isso indica que podemos usar Equação 1 e Equação 2 para encontrar os valores de , e .