Determinar o vetor tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor que satisfaz duas condições: o produto escalar com o vetor deve ser igual a e o produto vetorial com o vetor deve ser igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produto escalar e produto vetorial, e montar um sistema de equações para encontrar os componentes de .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o vetor de forma geral: . Nosso objetivo é descobrir os valores de , e .

Passo 3

Vamos usar a condição do produto escalar: . O produto escalar de dois vetores e é calculado como . Aplicando isso:
Ou seja:
çã

Passo 4

Agora, vamos usar a condição do produto vetorial: . O produto vetorial de e resulta em um novo vetor cujas componentes são dadas por:
Simplificando:
çãçãçã

Passo 5

Agora temos um sistema de quatro equações com três incógnitas. Vamos resolver passo a passo.
Primeiro, da Equação 3:
ã
Substituímos na Equação 4:
Dividindo por :
çã
Comparando com a Equação 2 ( ), vemos que são essencialmente a mesma equação. Isso indica que podemos usar Equação 1 e Equação 2 para encontrar os valores de , e .
Da Equação 2:
Substituímos e na Equação 1:
Agora, encontramos . Substituindo de volta:
E para :

Resposta

O vetor que satisfaz as condições dadas é .

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