Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos quatro pontos no espaço: , , e . Queremos encontrar o valor de que faz com que esses quatro pontos estejam todos no mesmo plano, ou seja, que sejam coplanares. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de vetores para verificar a coplanaridade.
Passo 2
Para quatro pontos serem coplanares, os vetores formados por três deles devem ser linearmente dependentes. Vamos considerar os vetores , e . Primeiro, vamos calcular cada um desses vetores:
Passo 3
Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes, o que confirma a coplanaridade dos pontos.
A matriz fica assim:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 5
Somando todos os termos:
Simplificando:
Passo 6
Resolvendo para :
Resposta
O valor de que torna os pontos A, B, C e D coplanares é .