Determine x para que A=(x, 1,2), B=(2,-2,-3), C=(5,-1,1) e D=(3,-2,-2) sejam coplanares.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos quatro pontos no espaço: A=(x, 1,2), B=(2,-2,-3), C=(5,-1,1) e D=(3,-2,-2). Queremos encontrar o valor de x que faz com que esses quatro pontos estejam todos no mesmo plano, ou seja, que sejam coplanares. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de vetores para verificar a coplanaridade.

Passo 2

Para quatro pontos serem coplanares, os vetores formados por três deles devem ser linearmente dependentes. Vamos considerar os vetores AB, AC e AD. Primeiro, vamos calcular cada um desses vetores:
AB = B - A = (2 - x, -2 - 1, -3 - 2) = (2 - x, -3, -5)
AC = C - A = (5 - x, -1 - 1, 1 - 2) = (5 - x, -2, -1)
AD = D - A = (3 - x, -2 - 1, -2 - 2) = (3 - x, -3, -4)

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes, o que confirma a coplanaridade dos pontos.
A matriz fica assim:
2 - x & -3 & -5 5 - x & -2 & -1 3 - x & -3 & -4

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
(2 - x) cdot (-2 cdot -4 - (-1) cdot -3) - (-3) cdot ((5 - x) cdot -4 - (-1) cdot (3 - x)) + (-5) cdot ((5 - x) cdot -3 - (-2) cdot (3 - x))
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
(2 - x) cdot (8 - 3) = (2 - x) cdot 5
Segundo termo:
- (-3) cdot (-20 + 4 + x) = 3 cdot (-16 + x) = -48 + 3x
Terceiro termo:
-5 cdot (-15 + 3x + 6 - 2x) = -5 cdot (-9 + x) = 45 - 5x

Passo 5

Somando todos os termos:
(2 - x) cdot 5 - 48 + 3x + 45 - 5x = 0
Simplificando:
10 - 5x - 48 + 3x + 45 - 5x = 0
(10 - 48 + 45) + (-5x + 3x -5x) = 0
7 - 7x = 0

Passo 6

Resolvendo para x:
7 - 7x = 0
-7x = -7
x = 1

Resposta

O valor de x que torna os pontos A, B, C e D coplanares é x = 1.

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