Determine para que e sejam coplanares.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos quatro pontos no espaço: , , e . Queremos encontrar o valor de que faz com que esses quatro pontos estejam todos no mesmo plano, ou seja, que sejam coplanares. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de vetores para verificar a coplanaridade.

Passo 2

Para quatro pontos serem coplanares, os vetores formados por três deles devem ser linearmente dependentes. Vamos considerar os vetores , e . Primeiro, vamos calcular cada um desses vetores:

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes, o que confirma a coplanaridade dos pontos.
A matriz fica assim:

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:

Passo 5

Somando todos os termos:
Simplificando:

Passo 6

Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna os pontos A, B, C e D coplanares é .

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e
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Um bloco de massa , em repouso sobre ume mesa horizontal sem atrito, está ligado a um suporte rígido através de uma mola de constante elástica . Um projétil de masse e velocidade de módulo atinge o bloco e fica alojado nele. Supondo que a compressão da mola é desprezivel até o projétil se alojar no bloco, determine (a) a velocidade do bloco imediatamente após a colisão e (b) a amplitude do movimento harmônico simples. (2,0t)

Determinar o vetor tal que e .