Um bloco de massa está na base de um plano inclinado que forma um ângulo de com a horizontal. Esse bloco é empurrado por uma força paralela ao plano inclinado de módulo F ao longo de uma distância D (distância paralela ao plano). Há atrito entre o plano e o bloco, cujo coeficiente de atrito vale . Determine em função de e g (aceleração da gravidade):
b) A velocidade do bloco após alcançar o topo do plano inclinado.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um bloco de massa na base de um plano inclinado que forma um ângulo com a horizontal. A gente empurra esse bloco com uma força paralela ao plano, fazendo ele percorrer uma distância até o topo. Tem também atrito entre o bloco e o plano, com um coeficiente de atrito . A gente quer descobrir qual será a velocidade do bloco quando ele chegar no topo do plano. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis da física relacionadas a trabalho e energia, além de entender como as forças atuam em um plano inclinado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no bloco enquanto ele se move pelo plano inclinado. Temos:
  1. Força aplicada ( ): empurra o bloco para cima do plano.
  2. Peso ( ): a força da gravidade que puxa o bloco para baixo.
  3. Componente do peso paralela ao plano ( ): parte do peso que atua ao longo do plano.
  4. Força de atrito ( ): que se opõe ao movimento, calculada por , onde é a força normal.
  5. Força normal ( ): perpendicular ao plano, calculada por .

Passo 3

Agora, vamos calcular a força de atrito. Como o atrito depende da força normal, usamos a fórmula:
Essa é a força que vai se opor ao movimento do bloco enquanto ele é empurrado para cima do plano inclinado.

Passo 4

Para encontrar o trabalho total realizado pelas forças, vamos considerar o trabalho feito pela força aplicada, o trabalho contra a gravidade e o trabalho contra o atrito. A fórmula geral do trabalho é:
Onde:
  • é a força aplicada,
  • é a distância percorrida,
  • é o ângulo entre a força e a direção do movimento.
No nosso caso, a força aplicada é paralela ao deslocamento, então . A força do atrito e a componente do peso são contrárias ao deslocamento, então usaremos .

Passo 5

Calculando os trabalhos:
  1. Trabalho da força aplicada ( ):
  1. Trabalho contra a gravidade ( ):
  1. Trabalho contra o atrito ( ):

Passo 6

A energia total fornecida pelo trabalho da força aplicada será igual à variação da energia cinética do bloco. Se o bloco parte do repouso, sua energia cinética inicial é zero, e no topo teremos:
Onde é a velocidade no topo do plano.

Passo 7

Substituindo os valores dos trabalhos na equação:

Passo 8

Agora, vamos resolver para . Primeiro, fatoramos e dividimos ambos os lados por :

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

A velocidade do bloco ao atingir o topo do plano inclinado é:

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b) A velocidade do bloco após percorrer a distância .
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a) trabalho da força normal, da força peso, da força de atrito e da força .
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