Um bloco de massa m está na base de um plano inclinado que forma um ângulo de theta com a horizontal. Esse bloco é empurrado por uma força paralela ao plano inclinado de módulo F ao longo de uma distância D (distância paralela ao plano). Há atrito entre o plano e o bloco, cujo coeficiente de atrito vale mu. Determine em função de D, m, theta, F, mu e g (aceleração da gravidade):
b) A velocidade do bloco após alcançar o topo do plano inclinado. square

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um bloco de massa m na base de um plano inclinado que forma um ângulo theta com a horizontal. A gente empurra esse bloco com uma força F paralela ao plano, fazendo ele percorrer uma distância D até o topo. Tem também atrito entre o bloco e o plano, com um coeficiente de atrito mu. A gente quer descobrir qual será a velocidade do bloco quando ele chegar no topo do plano. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis da física relacionadas a trabalho e energia, além de entender como as forças atuam em um plano inclinado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no bloco enquanto ele se move pelo plano inclinado. Temos:
  1. Força aplicada ( F): empurra o bloco para cima do plano.
  2. Peso ( mg): a força da gravidade que puxa o bloco para baixo.
  3. Componente do peso paralela ao plano ( mg sintheta): parte do peso que atua ao longo do plano.
  4. Força de atrito ( f): que se opõe ao movimento, calculada por f = mu N, onde N é a força normal.
  5. Força normal ( N): perpendicular ao plano, calculada por N = mg costheta.

Passo 3

Agora, vamos calcular a força de atrito. Como o atrito depende da força normal, usamos a fórmula:
f = mu N = mu mg costheta
Essa é a força que vai se opor ao movimento do bloco enquanto ele é empurrado para cima do plano inclinado.

Passo 4

Para encontrar o trabalho total realizado pelas forças, vamos considerar o trabalho feito pela força aplicada, o trabalho contra a gravidade e o trabalho contra o atrito. A fórmula geral do trabalho é:
W = F cdot d cdot cosphi
Onde:
  • F é a força aplicada,
  • d é a distância percorrida,
  • phi é o ângulo entre a força e a direção do movimento.
No nosso caso, a força aplicada F é paralela ao deslocamento, então cos0 = 1. A força do atrito e a componente do peso são contrárias ao deslocamento, então usaremos cos180 = -1.

Passo 5

Calculando os trabalhos:
  1. Trabalho da força aplicada ( WF):
WF = F cdot D
  1. Trabalho contra a gravidade ( Wg):
Wg = -mg sintheta cdot D
  1. Trabalho contra o atrito ( Wf):
Wf = -f cdot D = -mu mg costheta cdot D

Passo 6

A energia total fornecida pelo trabalho da força aplicada será igual à variação da energia cinética do bloco. Se o bloco parte do repouso, sua energia cinética inicial é zero, e no topo teremos:
WF - Wg - Wf = 12 m v^2
Onde v é a velocidade no topo do plano.

Passo 7

Substituindo os valores dos trabalhos na equação:
F cdot D - mg sintheta cdot D - mu mg costheta cdot D = 12 m v^2

Passo 8

Agora, vamos resolver para v. Primeiro, fatoramos D e dividimos ambos os lados por m:
D ( F - mg sintheta - mu mg costheta ) = 12 m v^2
v^2 = 2D ( F - mg sintheta - mu mg costheta )m

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar v:
v = raiz 2D ( F - mg sintheta - mu mg costheta )m

Resposta

A velocidade do bloco ao atingir o topo do plano inclinado é:
v = raiz 2D ( F - mg sintheta - mu mg costheta )m

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