Se um projétil é disparado da origem do sistema de coordenadas com uma velocidade inicial v0, em uma direção que faz um ângulo alpha com a horizontal, calcule o tempo necessário para que o projétil cruze uma linha que passa pela origem e faz um ângulo beta com a horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um projétil lançado da origem com uma velocidade inicial e faz um ângulo com a horizontal. O objetivo é descobrir quanto tempo ele leva para cruzar uma linha que também passa pela origem, mas faz um ângulo menor com a horizontal. Vamos usar conceitos de movimento projetil e equações paramétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do projétil. Quando ele é lançado, ele tem duas componentes de velocidade: uma horizontal e outra vertical. Podemos calculá-las usando seno e cosseno:
v0x = v0 cdot cos(alpha)
v0y = v0 cdot sin(alpha)

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações da posição do projétil em função do tempo. Para a posição horizontal ( x(t) = v0x cdot t = v0 cdot cos(alpha) cdot t ) e vertical ( y(t) = v0y cdot t - 12 g t^2 = v0 cdot sin(alpha) cdot t - 12 g t^2 ):
Aqui, é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 4

A linha que o projétil deve cruzar tem um ângulo y = tan(beta) cdot x com a horizontal e passa pela origem. A equação dessa linha é:
Queremos saber o tempo em que o projétil está nessa linha, ou seja, quando .

Passo 5

Vamos substituir as equações de v0 cdot sin(alpha) cdot t - 12 g t^2 = tan(beta) cdot v0 cdot cos(alpha) cdot t e na equação da linha:

Passo 6

Vamos rearranjar essa equação para deixar tudo igual a zero:
v0 cdot sin(alpha) cdot t - 12 g t^2 - tan(beta) cdot v0 cdot cos(alpha) cdot t = 0
Fatorando t ( v0 cdot sin(alpha) - tan(beta) cdot v0 cdot cos(alpha) - 12 g t ) = 0 :

Passo 7

Isso nos dá duas soluções: v0 cdot sin(alpha) - tan(beta) cdot v0 cdot cos(alpha) - 12 g t = 0 (quando o projétil está na origem) e:
12 g t = v0 cdot sin(alpha) - tan(beta) cdot v0 cdot cos(alpha)
Vamos resolver para t = 2 v0 (sin(alpha) - tan(beta) cos(alpha))g :

Resposta

O tempo necessário para que o projétil cruze a linha com ângulo t = 2 v0 (sin(alpha) - tan(beta) cos(alpha))g é:

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