Se um projétil é disparado da origem do sistema de coordenadas com uma velocidade inicial , em uma direção que faz um ângulo com a horizontal, calcule o tempo necessário para que o projétil cruze uma linha que passa pela origem e faz um ângulo com a horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um projétil lançado da origem com uma velocidade inicial e faz um ângulo com a horizontal. O objetivo é descobrir quanto tempo ele leva para cruzar uma linha que também passa pela origem, mas faz um ângulo menor com a horizontal. Vamos usar conceitos de movimento projetil e equações paramétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do projétil. Quando ele é lançado, ele tem duas componentes de velocidade: uma horizontal e outra vertical. Podemos calculá-las usando seno e cosseno:

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações da posição do projétil em função do tempo. Para a posição horizontal ( ) e vertical ( ):
Aqui, é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 4

A linha que o projétil deve cruzar tem um ângulo com a horizontal e passa pela origem. A equação dessa linha é:
Queremos saber o tempo em que o projétil está nessa linha, ou seja, quando .

Passo 5

Vamos substituir as equações de e na equação da linha:

Passo 6

Vamos rearranjar essa equação para deixar tudo igual a zero:
Fatorando :

Passo 7

Isso nos dá duas soluções: (quando o projétil está na origem) e:
Vamos resolver para :

Resposta

O tempo necessário para que o projétil cruze a linha com ângulo é:

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a) trabalho da força normal, da força peso, da força de atrito e da forç̧a .
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