Se um projétil é disparado da origem do sistema de coordenadas com uma velocidade inicial
, em uma direção que faz um ângulo
com a horizontal, calcule o tempo necessário para que o projétil cruze uma linha que passa pela origem e faz um ângulo
com a horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um projétil lançado da origem com uma velocidade inicial
e faz um ângulo
com a horizontal. O objetivo é descobrir quanto tempo ele leva para cruzar uma linha que também passa pela origem, mas faz um ângulo menor
com a horizontal. Vamos usar conceitos de movimento projetil e equações paramétricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do projétil. Quando ele é lançado, ele tem duas componentes de velocidade: uma horizontal e outra vertical. Podemos calculá-las usando seno e cosseno:
Passo 3
Agora, vamos escrever as equações da posição do projétil em função do tempo. Para a posição horizontal (
) e vertical (
):
Aqui,
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
).
Passo 4
A linha que o projétil deve cruzar tem um ângulo
com a horizontal e passa pela origem. A equação dessa linha é:
Queremos saber o tempo
em que o projétil está nessa linha, ou seja, quando
.
Passo 5
Vamos substituir as equações de
e
na equação da linha:
Passo 6
Vamos rearranjar essa equação para deixar tudo igual a zero:
Fatorando
:
Passo 7
Isso nos dá duas soluções:
(quando o projétil está na origem) e:
Vamos resolver para
:
Resposta
O tempo necessário para que o projétil cruze a linha com ângulo
é:
Exercícios relacionados
Um bloco de massa
está na base de um plano inclinado que forma um ângulo de
com a horizontal. Esse bloco é empurrado por uma força paralela ao plano inclinado de módulo F ao longo de uma distância D (distância paralela ao plano). Há atrito entre o plano e o bloco, cujo coeficiente de atrito vale
. Determine em função de
e g (aceleração da gravidade):
a) trabalho da força normal, da força peso, da força de atrito e da forç̧a
.
a)
Um bloco de massa
está na base de um plano inclinado que forma um ângulo de
com a horizontal. Esse bloco é empurrado por uma força paralela ao plano inclinado de módulo F ao longo de uma distância D (distância paralela ao plano). Há atrito entre o plano e o bloco, cujo coeficiente de atrito vale
. Determine em função de
e g (aceleração da gravidade):
b) A velocidade do bloco após alcançar o topo do plano inclinado.
b) A velocidade do bloco após alcançar o topo do plano inclinado.
Considerando que a aceleração de um ponto material é
e que o ponto parte do repouso, determine a velocidade na posição
, a posição quando a velocidade se anula novamente e a posição para a velocidade máxima. Considere
.
Considere o potencial unidimensional
Faça um gráfico do potencial e discuta o movimento nos vários valores de
. O movimento é limitado ou não tem limitação? Onde estão os valores de equilíbrio? Eles são estáveis ou instáveis? Encontre os pontos de reversão para
. O valor de
é uma constante positiva.