um bloco de massa m escorrega sobre um piso sem atrito e depois sobre uma rampa sem atrito. O ângulo da rampa é theta e a rapaidez do bloco antes de começar a subir a rampa é v0. O bloco escorrega até uma altura máxima h acima do piso, antes de parar. Mostre que h é independente de m e theta, deduzindo uma expressão para h em termos de v0 e g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um bloco de massa que desliza sem atrito primeiro no chão e depois sobe uma rampa inclinada com ângulo . A velocidade inicial do bloco antes de subir a rampa é . A pergunta é sobre descobrir a altura máxima que o bloco alcança acima do chão e mostrar que essa altura não depende nem da massa nem do ângulo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Energia Cinética e Energia Potencial, além de entender como elas se transformam nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na Energia Cinética que o bloco tem quando está com velocidade Ek = 12 m v0^2 . A energia cinética ( Ep = m g h ) é dada por:
Essa energia é totalmente convertida em Energia Potencial Gravitacional ( ) quando o bloco para na altura máxima . A energia potencial é dada por:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Como não há atrito, toda a energia cinética inicial se transforma em energia potencial no ponto mais alto. Então, podemos igualar as duas energias:
12 m v0^2 = m g h

Passo 4

Agora, vamos resolver para 12 v0^2 = g h . Primeiro, notamos que a massa aparece nos dois lados da equação, então podemos cancelá-la:

Passo 5

Isolando h = v0^22 g , temos:

Resposta

A altura máxima h = v0^22 g que o bloco alcança é:
Isso mostra que não depende nem da massa nem do ângulo .

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