Para um circuito elétrico, as variáveis mecânicas que equivalem às elétricas, são dadas por: q x ; m L (indutância); 1k C ( capacitância). Sabendo dessas relações de equivalência, para um circuito elétrico que apenas uma malha, com resistor R, um capacitor C e uma indutância L, ligados a uma fonte do tipo V=V0 cos (omega t), encontre
a) a equação diferencial que rege o circuito tal como o oscilador amortecido forçado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito elétrico simples com um resistor , um capacitor , e uma indutância , tudo ligado a uma fonte de tensão que varia com o tempo, tipo . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação diferencial que descreve como esse circuito se comporta, parecido com um oscilador amortecido forçado na física. Para isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos e analogias mecânicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em circuitos elétricos, a tensão V = VR + VL + VC está relacionada a diferentes componentes por leis como a de Ohm e as relações de indutância e capacitância. A gente tem três elementos no circuito:
  1. Resistor ( ): A queda de tensão no resistor é dada por , onde é a corrente.
  2. Indutor ( ): A tensão no indutor é .
  3. Capacitor ( ): A tensão no capacitor é .
Como tudo está em série, a soma das tensões nos elementos deve ser igual à tensão fornecida pela fonte. Então, temos:

Passo 3

Vamos substituir cada expressão de tensão nessa equação:
V0 cos(omega t) = R cdot I + L dIdt + 1C integral I , dt
Agora, para facilitar a resolução, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo para eliminar a integral:
ddt[V0 cos(omega t)] = ddt[R cdot I + L dIdt + 1C integral I , dt]
Isso resulta em:
- V0 omega sin(omega t) = R dIdt + L d^2Idt^2 + 1C I

Passo 4

Vamos organizar essa equação de uma forma mais convencional, colocando todos os termos em um lado da igualdade:
L d^2Idt^2 + R dIdt + 1C I = - V0 omega sin(omega t)
Isso já parece com a equação de um oscilador forçado, onde temos termos de aceleração ( ), velocidade ( ) e posição ( ), alinhados com a força externa que, nesse caso, é a tensão da fonte.

Passo 5

Para ficar tudo nos padrões de osciladores, podemos reescrever a equação de forma mais elegante, dividindo todos os termos por d^2Idt^2 + RL dIdt + 1LC I = -V0 omegaL sin(omega t) :
Essa é a equação diferencial que descreve o comportamento do circuito, análoga à equação de um oscilador amortecido forçado na mecânica.

Resposta

A equação diferencial que rege o circuito é:
d^2Idt^2 + RL dIdt + 1LC I = -V0 omegaL sin(omega t)

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