Para um circuito elétrico, as variáveis mecânicas que equivalem às elétricas, são dadas por:
(indutância);
( capacitância). Sabendo dessas relações de equivalência, para um circuito elétrico que apenas uma malha, com resistor
, um capacitor
e uma indutância
, ligados a uma fonte do tipo
, encontre
a) a equação diferencial que rege o circuito tal como o oscilador amortecido forçado.
a) a equação diferencial que rege o circuito tal como o oscilador amortecido forçado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito elétrico simples com um resistor
, um capacitor
, e uma indutância
, tudo ligado a uma fonte de tensão que varia com o tempo, tipo
. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação diferencial que descreve como esse circuito se comporta, parecido com um oscilador amortecido forçado na física. Para isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos e analogias mecânicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em circuitos elétricos, a tensão
está relacionada a diferentes componentes por leis como a de Ohm e as relações de indutância e capacitância. A gente tem três elementos no circuito:
- Resistor (
): A queda de tensão no resistor é dada por , onde é a corrente. - Indutor (
): A tensão no indutor é . - Capacitor (
): A tensão no capacitor é .
Como tudo está em série, a soma das tensões nos elementos deve ser igual à tensão fornecida pela fonte. Então, temos:
Passo 3
Vamos substituir cada expressão de tensão nessa equação:
Agora, para facilitar a resolução, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo para eliminar a integral:
Isso resulta em:
Passo 4
Vamos organizar essa equação de uma forma mais convencional, colocando todos os termos em um lado da igualdade:
Isso já parece com a equação de um oscilador forçado, onde temos termos de aceleração (
), velocidade (
) e posição (
), alinhados com a força externa que, nesse caso, é a tensão da fonte.
Passo 5
Para ficar tudo nos padrões de osciladores, podemos reescrever a equação de forma mais elegante, dividindo todos os termos por
:
Essa é a equação diferencial que descreve o comportamento do circuito, análoga à equação de um oscilador amortecido forçado na mecânica.
Resposta
A equação diferencial que rege o circuito é:
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