Considere a funço
. Calcule
e determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa calcular a derivada dela,
, e depois encontrar a integral dessa derivada, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral, como a regra da cadeia para derivadas e a relação básica entre derivação e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que serve para derivar funções compostas.
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta
, a derivada é
.
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos derivar cada parte separadamente.
-
Derivada de
: -
Derivada de
: (Usei a regra da derivada da função logarítmica e a derivada de)
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar a integral de
:
Mas olha só, percebemos que
é justamente a derivada de
. Isso significa que a integral de
vai nos dar de volta
mais uma constante de integração.