Considere a funço . Calcule e determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa calcular a derivada dela, , e depois encontrar a integral dessa derivada, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral, como a regra da cadeia para derivadas e a relação básica entre derivação e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia, que serve para derivar funções compostas.
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , a derivada é .
Aqui, e .

Passo 3

Vamos derivar cada parte separadamente.
  1. Derivada de :
  2. Derivada de :
    (Usei a regra da derivada da função logarítmica e a derivada de )

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Então,

Passo 5

Agora, vamos encontrar a integral de :
Mas olha só, percebemos que é justamente a derivada de . Isso significa que a integral de vai nos dar de volta mais uma constante de integração.

Resposta

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Considere que um paraquedista de massa é solto no instante com velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo . Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Escreva a equação de movimento do corpo.
O bloco de massa escorrega sobre uma superfície horizontal plana lubrificada com óleo. Nesta superfície, o bloco sofre uma força resistiva com sendo uma constante positiva. Se o bloco estava inicialmente com uma velocidade .
Encontre e .
Determine a diferencial da função.
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Considere que um paraquedista de massa é solto no instante com velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo . Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Mostre que a velocidade limite de queda é