Considere a funço F(x)=arctg(ln 2 x). Calcule F^prime(x) e determine integral F^prime(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa calcular a derivada dela, , e depois encontrar a integral dessa derivada, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral, como a regra da cadeia para derivadas e a relação básica entre derivação e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia, que serve para derivar funções compostas.
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , a derivada é .
Aqui, e .

Passo 3

Vamos derivar cada parte separadamente.
  1. Derivada de f'(u) = 11 + u^2 :
    g'(x) = ddx [ln(2x)] = 12x cdot 2 = 1x
  2. Derivada de :
    (Usei a regra da derivada da função logarítmica e a derivada de )

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia:
F'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x) = 11 + (ln(2x))^2 cdot 1x
Então,
F'(x) = 1x (1 + (ln(2x))^2)

Passo 5

Agora, vamos encontrar a integral de integral F'(x) , dx = integral 1x (1 + (ln(2x))^2) , dx :
Mas olha só, percebemos que é justamente a derivada de . Isso significa que a integral de vai nos dar de volta mais uma constante de integração.

Resposta

F'(x) = 1x (1 + (ln(2x))^2)
integral F'(x) , dx = arctan(ln(2x)) + C

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