Um bloco de massa M está em um plano inclinado sem atrito de ângulo a=pi / 4 como na Figura. Ele é conectado por um fio de densidade de massa linear mu=0 , 0 3 k g / m que passa por uma polia que suporta outro bloco de massa m. Ambas as massas estão em repouso. Se ondas transversais viajam a v=8 0 m / s no fio, encontre M e m, usando símbolos até o final (substitua os valores dos parâmetros somente após chegar a uma resposta algébrica para o problema). Ignore a massa da corda ao calcular a tensão na corda, use-a apenas se precisar na expressão da velocidade das ondas. (1,5)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois blocos: um com massa que está em um plano inclinado sem atrito com ângulo (ou 45 graus), e outro bloco com massa pendurado por uma corda que passa por uma polia. A corda tem uma densidade linear de massa e ondas transversais viajam nela a . Ambos os blocos estão em repouso. Precisamos encontrar as massas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças e a relação entre a velocidade das ondas na corda e a tensão nela.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças atuando em cada bloco. Como os blocos estão em repouso, as forças devem estar equilibradas.
Para o bloco na rampa ( T = M g sin(alpha) ):
  • A força gravitacional que puxa o bloco para baixo ao longo da rampa é T = m g .
  • A tensão na corda ( ) está puxando o bloco para cima ao longo da rampa.
Como o bloco está em equilíbrio:
Para o bloco pendurado ( ):
  • A força gravitacional que puxa o bloco para baixo é .
  • A tensão na corda ( ) está puxando o bloco para cima.
Como este bloco também está em equilíbrio:

Passo 3

Agora, igualando as duas expressões para M g sin(alpha) = m g :
M sin(alpha) = m
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por M = msin(alpha) :
Então:

Passo 4

Vamos agora relacionar a velocidade das ondas na corda com a tensão. A velocidade v = raizTmu das ondas em uma corda é dada por:
T = mu v^2
Queremos encontrar em termos de e :

Passo 5

Substituindo a expressão de mu v^2 = m g obtida na equação de equilíbrio para o bloco pendurado:
m = mu v^2g
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos M = msin(alpha) = mu v^2g sin(alpha) em termos de , e , podemos substituir este valor na expressão para :

Resposta

As massas são dadas por:
m = mu v^2g
M = mu v^2g sin(alpha)
Substituindo os valores:
m = 0,003 times 80^29,81 approx 0,003 times 64009,81 approx 19,29,81 approx 1,96 , kg
M = 0,003 times 80^29,81 times sin(pi4) approx 19,29,81 times 0,7071 approx 19,26,936 approx 2,77 , kg
Portanto:
m approx 1,96 , kg
M approx 2,77 , kg

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