Determine se os orbitais e são autofunções de . Se não forem, haverá combinação linear destes orbitais de tal forma a ser autofunção de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se os orbitais e são autofunções do operador , que representa o componente z do momento angular no átomo. Se não forem, precisamos ver se dá para combinar esses orbitais de forma que a combinação resultante seja uma autofunção de . Para isso, vamos precisar entender como o operador atua sobre os orbitais e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma autofunção (ou autofunção) de um operador é uma função que, quando o operador age sobre ela, retorna a mesma função multiplicada por um número (que chamamos de autovalor). Ou seja, se é uma autofunção de , então:
onde é o autovalor correspondente.
Agora, os orbitais e são funções que descrevem a distribuição de probabilidade dos elétrons em torno do núcleo do átomo. Vamos ver como o operador age sobre eles.

Passo 3

O operador numa base cartesiana é dado por:
Aplicando isso sobre e , percebemos que:
Isso mostra que quando aplicamos em e , o resultado não é simplesmente a função original multiplicada por um número, mas sim uma combinação das duas funções com coeficientes complexos.

Passo 4

Como e resultam em combinações das duas funções, isso significa que e não são autofunções de . Mas calma, não termina aqui! Podemos procurar por combinações lineares desses orbitais que sejam autofunções.

Passo 5

Vamos tentar construir novas funções combinando e . Consideremos as seguintes combinações:
Agora, aplicando nessas novas funções:
Isso mostra que e são autofunções de com autovalores e , respectivamente.

Resposta

Os orbitais e não são autofunções de . No entanto, existe uma combinação linear deles que resulta em autofunções de , especificamente:

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