Determine se os orbitais
e
são autofunções de
. Se não forem, haverá combinação linear destes orbitais de tal forma a ser autofunção de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se os orbitais
e
são autofunções do operador
, que representa o componente z do momento angular no átomo. Se não forem, precisamos ver se dá para combinar esses orbitais de forma que a combinação resultante seja uma autofunção de
. Para isso, vamos precisar entender como o operador
atua sobre os orbitais
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma autofunção (ou autofunção) de um operador é uma função que, quando o operador age sobre ela, retorna a mesma função multiplicada por um número (que chamamos de autovalor). Ou seja, se
é uma autofunção de
, então:
onde
é o autovalor correspondente.
Agora, os orbitais
e
são funções que descrevem a distribuição de probabilidade dos elétrons em torno do núcleo do átomo. Vamos ver como o operador
age sobre eles.
Passo 3
O operador
numa base cartesiana é dado por:
Aplicando isso sobre
e
, percebemos que:
Isso mostra que quando aplicamos
em
e
, o resultado não é simplesmente a função original multiplicada por um número, mas sim uma combinação das duas funções com coeficientes complexos.
Passo 4
Como
e
resultam em combinações das duas funções, isso significa que
e
não são autofunções de
. Mas calma, não termina aqui! Podemos procurar por combinações lineares desses orbitais que sejam autofunções.
Passo 5
Vamos tentar construir novas funções combinando
e
. Consideremos as seguintes combinações:
Agora, aplicando
nessas novas funções:
Isso mostra que
e
são autofunções de
com autovalores
e
, respectivamente.
Resposta
Os orbitais
e
não são autofunções de
. No entanto, existe uma combinação linear deles que resulta em autofunções de
, especificamente: