Um bloco de massa M é suspenso por uma corda de massa m ll M e comprimento L+l. A corda passa por uma polia fixa, é esticada na horizontal e presa na outra extremidade a um alto-falante. Sabendo que o comprimento horizontal da corda é L e que quando o alto-falante vibra com frequência f observa-se observa-se n+1 nodos no comprimento horizontal, calcule a aceleração da gravidade.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos dá e o que precisamos descobrir. Temos um bloco de massa pendurado por uma corda que tem massa (bem menor que ), com comprimento total . A corda passa por uma polia fixa, fica esticada na horizontal com comprimento e está presa a um alto-falante. Quando o alto-falante vibra com frequência , observamos nodos na parte horizontal da corda. Nosso objetivo aqui é calcular a aceleração da gravidade . Para isso, vamos precisar entender conceitos de ondas estacionárias em cordas e a relação entre frequência, comprimento de onda e velocidade da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um nodo é um ponto em uma onda estacionária onde não há movimento (amplitude zero). Se temos nodos, isso significa que temos segmentos ou “antínodos” na corda. Cada segmento corresponde a metade do comprimento de onda ( ).

Passo 3

Sabendo disso, podemos relacionar o comprimento horizontal da corda ( L = n ( lambda2 ) ) com a quantidade de segmentos. A fórmula fica:
lambda = 2Ln
Dessa forma, isolando :

Passo 4

Agora, vamos lembrar da relação entre a velocidade da onda ( v = f lambda ), frequência ( v = f ( 2Ln ) = 2fLn ) e comprimento de onda ( ):
Substituindo que encontramos:

Passo 5

A velocidade da onda em uma corda também está relacionada com a tensão ( v = raizTmu ) na corda e a densidade linear ( mu = mL + l ) da corda:
A densidade linear é a massa por unidade de comprimento da corda, ou seja:

Passo 6

Igualando as duas expressões para 2fLn = raizTmu :
( 2fLn )^2 = Tmu
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
4f^2L^2n^2 = Tmu

Passo 7

Resolvendo para a tensão T = mu cdot 4f^2L^2n^2 :
T = mL + l cdot 4f^2L^2n^2
Substituindo :

Passo 8

Sabemos que a tensão na corda é equilibrada pelo peso do bloco, ou seja:
T = M g
Portanto:
M g = mL + l cdot 4f^2L^2n^2

Passo 9

Agora, isolamos g = 4m f^2 L^2n^2 (L + l) M para encontrar a aceleração da gravidade:

Resposta

A aceleração da gravidade g = 4m f^2 L^2n^2 (L + l) M é dada por:

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