Um bloco de massa
é suspenso por uma corda de massa
e comprimento
. A corda passa por uma polia fixa, é esticada na horizontal e presa na outra extremidade a um alto-falante. Sabendo que o comprimento horizontal da corda é
e que quando o alto-falante vibra com frequência
observa-se observa-se
nodos no comprimento horizontal, calcule a aceleração da gravidade.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos dá e o que precisamos descobrir. Temos um bloco de massa
pendurado por uma corda que tem massa
(bem menor que
), com comprimento total
. A corda passa por uma polia fixa, fica esticada na horizontal com comprimento
e está presa a um alto-falante. Quando o alto-falante vibra com frequência
, observamos
nodos na parte horizontal da corda. Nosso objetivo aqui é calcular a aceleração da gravidade
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de ondas estacionárias em cordas e a relação entre frequência, comprimento de onda e velocidade da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um nodo é um ponto em uma onda estacionária onde não há movimento (amplitude zero). Se temos
nodos, isso significa que temos
segmentos ou “antínodos” na corda. Cada segmento corresponde a metade do comprimento de onda (
).
Passo 3
Sabendo disso, podemos relacionar o comprimento horizontal da corda (
) com a quantidade de segmentos. A fórmula fica:
Dessa forma, isolando
:
Passo 4
Agora, vamos lembrar da relação entre a velocidade da onda (
), frequência (
) e comprimento de onda (
):
Substituindo
que encontramos:
Passo 5
A velocidade da onda em uma corda também está relacionada com a tensão (
) na corda e a densidade linear (
) da corda:
A densidade linear
é a massa por unidade de comprimento da corda, ou seja:
Passo 6
Igualando as duas expressões para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Resolvendo para a tensão
:
Substituindo
:
Passo 8
Sabemos que a tensão na corda é equilibrada pelo peso do bloco, ou seja:
Portanto:
Passo 9
Agora, isolamos
para encontrar a aceleração da gravidade:
Resposta
A aceleração da gravidade
é dada por: