Uma onda harmônica é gerada próximo ao extremo fixo de uma corda, em , viaja em direção ao extremo livre, , sendo refletida, e gera uma interferência que resulta numa onda estacionária. Calcule o -ésimo harmônico da onda resultante, sabendo que a condição de contorno em é . Esboce a figura correspondente aos quatro primeiros harmônicos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda harmônica que é gerada num ponto fixo da corda em e viaja até o extremo livre em . Quando essa onda é refletida no extremo livre, ela interfere com a onda que chega, formando uma onda estacionária. Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão da -ésima harmônica dessa onda estacionária, sabendo que no ponto a derivada da função de onda em relação a é zero ( ). Além disso, vamos esboçar os quatro primeiros harmônicos dessa onda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma onda estacionária. Quando uma onda se propaga em uma direção e é refletida na outra direção, a superposição dessas ondas pode resultar em uma onda que parece não se mover, ou seja, uma onda estacionária. Essa onda é composta por duas ondas de mesma amplitude e frequência, mas que se propagam em direções opostas.

Passo 3

A forma geral de uma onda estacionária é dada pela soma de uma onda que vai para a direita e outra que vai para a esquerda:
Usando a identidade trigonométrica , podemos simplificar essa expressão.

Passo 4

Aplicando a identidade trigonométrica:
Essa é a forma geral de uma onda estacionária, onde representa a oscilação no tempo e representa a distribuição espacial da onda.

Passo 5

Agora, precisamos aplicar a condição de contorno . Vamos calcular a derivada da função de onda em relação a :
Aplicando a condição de contorno em :
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , devemos ter . Isso ocorre quando:

Passo 6

A condição nos permite encontrar o número de harmônicos que a corda suporta. A constante de onda é relacionada ao comprimento de onda por . Substituindo na condição:
Isso mostra que a corda pode vibrar em comprimentos de onda que são divisões pares do comprimento total .

Passo 7

Agora, substituindo na expressão da onda estacionária:
Essa é a expressão da -ésima harmônica da onda estacionária na corda.

Resposta

A -ésima harmônica da onda estacionária resultante é dada por:
Além disso, os esboços dos quatro primeiros harmônicos mostram diferentes padrões de nós e anti-nós ao longo da corda, conforme aumenta.

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