Uma onda harmônica
é gerada próximo ao extremo fixo de uma corda, em
, viaja em direção ao extremo livre,
, sendo refletida, e gera uma interferência que resulta numa onda estacionária. Calcule o
-ésimo harmônico da onda resultante, sabendo que a condição de contorno em
é
. Esboce a figura correspondente aos quatro primeiros harmônicos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda harmônica
que é gerada num ponto fixo da corda em
e viaja até o extremo livre em
. Quando essa onda é refletida no extremo livre, ela interfere com a onda que chega, formando uma onda estacionária. Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão da
-ésima harmônica dessa onda estacionária, sabendo que no ponto
a derivada da função de onda em relação a
é zero (
). Além disso, vamos esboçar os quatro primeiros harmônicos dessa onda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma onda estacionária. Quando uma onda se propaga em uma direção e é refletida na outra direção, a superposição dessas ondas pode resultar em uma onda que parece não se mover, ou seja, uma onda estacionária. Essa onda é composta por duas ondas de mesma amplitude e frequência, mas que se propagam em direções opostas.
Passo 3
A forma geral de uma onda estacionária é dada pela soma de uma onda que vai para a direita e outra que vai para a esquerda:
Usando a identidade trigonométrica
, podemos simplificar essa expressão.
Passo 4
Aplicando a identidade trigonométrica:
Essa é a forma geral de uma onda estacionária, onde
representa a oscilação no tempo e
representa a distribuição espacial da onda.
Passo 5
Agora, precisamos aplicar a condição de contorno
. Vamos calcular a derivada da função de onda em relação a
:
Aplicando a condição de contorno em
:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, devemos ter
. Isso ocorre quando:
Passo 6
A condição
nos permite encontrar o número de harmônicos que a corda suporta. A constante de onda
é relacionada ao comprimento de onda
por
. Substituindo na condição:
Isso mostra que a corda pode vibrar em comprimentos de onda que são divisões pares do comprimento total
.
Passo 7
Agora, substituindo
na expressão da onda estacionária:
Essa é a expressão da
-ésima harmônica da onda estacionária na corda.
Resposta
A
-ésima harmônica da onda estacionária resultante é dada por:
Além disso, os esboços dos quatro primeiros harmônicos mostram diferentes padrões de nós e anti-nós ao longo da corda, conforme
aumenta.