Um bloco de massa
parte do repouso e desliza sem atrito pela face inclinada de um prisma triangular de massa
. Ao deixar o prisma, tanto o bloco quanto o prisma continuam a deslizar sem atrito pela superfície plana. Inicialmente o bloco está à altura
em relação à superfície horizontal. Determine a velocidade do bloco quando ele perde contato com o prisma e a velocidade do próprio prisma.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um bloco de massa
que está parado no início e desliza sem atrito pela face inclinada de um prisma triangular que tem massa
. Quando o bloco deixa o prisma, ambos continuam deslizando sem atrito pela superfície plana. A altura inicial do bloco em relação ao chão é
.
O conteúdo que vamos usar aqui é da Mecânica, mais especificamente da Conservação de Energia e das Leis de Newton para sistemas com múltiplos corpos. Vamos precisar aplicar princípios de conservação de energia para encontrar as velocidades e também analisar as forças envolvidas quando o bloco perde o contato com o prisma.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia total do sistema no início e como ela se transforma. No começo, o bloco tem energia potencial gravitacional devido à sua altura
. Quando ele desce, essa energia é convertida em energia cinética tanto do bloco quanto do prisma.
A energia potencial inicial do bloco é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, vamos considerar a energia cinética do sistema quando o bloco está no ponto em que perde o contato com o prisma. A energia cinética total
é a soma das energias cinéticas do bloco e do prisma:
onde
é a velocidade do bloco e
é a velocidade do prisma no momento que o bloco perde o contato.
Como não há atrito, a energia potencial total inicial será igual à energia cinética total no ponto de perda de contato:
Passo 4
Precisamos relacionar as velocidades
e
. Para isso, vamos analisar as forças envolvidas. No momento em que o bloco perde o contato com o prisma, a força normal entre eles é zero. Isso nos leva a uma condição de equilíbrio nas forças verticais.
Aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical para o bloco:
onde
é a força normal e
é o raio de curvatura da trajetória. Como
no momento da perda de contato:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar o raio de curvatura
com as dimensões do prisma. Considerando que o bloco está descendo por uma face inclinada, podemos assumir que
está relacionado com a altura
. Para simplificar, vamos considerar que
, já que a movimentação ocorre ao longo da altura.
Substituindo
na equação anterior:
Passo 6
Com a velocidade do bloco
conhecida, podemos voltar à equação da conservação de energia para encontrar a velocidade do prisma
.
Sabemos que:
Substituindo os valores:
Calculando:
Subtraindo 2,94 de ambos os lados:
Dividindo por 1,5:
Resposta
Quando o bloco perde contato com o prisma, a velocidade do bloco é aproximadamente
e a velocidade do prisma é
.