Um bloco de massa mb=1 kg parte do repouso e desliza sem atrito pela face inclinada de um prisma triangular de massa mp=3 kg. Ao deixar o prisma, tanto o bloco quanto o prisma continuam a deslizar sem atrito pela superfície plana. Inicialmente o bloco está à altura h=0,6 m em relação à superfície horizontal. Determine a velocidade do bloco quando ele perde contato com o prisma e a velocidade do próprio prisma.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um bloco de massa que está parado no início e desliza sem atrito pela face inclinada de um prisma triangular que tem massa . Quando o bloco deixa o prisma, ambos continuam deslizando sem atrito pela superfície plana. A altura inicial do bloco em relação ao chão é .
O conteúdo que vamos usar aqui é da Mecânica, mais especificamente da Conservação de Energia e das Leis de Newton para sistemas com múltiplos corpos. Vamos precisar aplicar princípios de conservação de energia para encontrar as velocidades e também analisar as forças envolvidas quando o bloco perde o contato com o prisma.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia total do sistema no início e como ela se transforma. No começo, o bloco tem energia potencial gravitacional devido à sua altura Ep = mb cdot g cdot h . Quando ele desce, essa energia é convertida em energia cinética tanto do bloco quanto do prisma.
A energia potencial inicial do bloco é dada por:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, vamos considerar a energia cinética do sistema quando o bloco está no ponto em que perde o contato com o prisma. A energia cinética total Ek = 12 mb vb^2 + 12 mp vp^2 é a soma das energias cinéticas do bloco e do prisma:
mb cdot g cdot h = 12 mb vb^2 + 12 mp vp^2
onde é a velocidade do bloco e é a velocidade do prisma no momento que o bloco perde o contato.
Como não há atrito, a energia potencial total inicial será igual à energia cinética total no ponto de perda de contato:

Passo 4

Precisamos relacionar as velocidades mb cdot g = N + mb cdot vb^2r e mb cdot g = mb cdot vb^2r . Para isso, vamos analisar as forças envolvidas. No momento em que o bloco perde o contato com o prisma, a força normal entre eles é zero. Isso nos leva a uma condição de equilíbrio nas forças verticais.
Aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical para o bloco:
g = vb^2r Rightarrow vb = raizg cdot r
onde é a força normal e é o raio de curvatura da trajetória. Como no momento da perda de contato:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, precisamos relacionar o raio de curvatura vb = raizg cdot h = raiz9,8 times 0,6 approx raiz5,88 approx 2,43,m/s com as dimensões do prisma. Considerando que o bloco está descendo por uma face inclinada, podemos assumir que está relacionado com a altura . Para simplificar, vamos considerar que , já que a movimentação ocorre ao longo da altura.
Substituindo na equação anterior:

Passo 6

Com a velocidade do bloco mb cdot g cdot h = 12 mb vb^2 + 12 mp vp^2 conhecida, podemos voltar à equação da conservação de energia para encontrar a velocidade do prisma 1 times 9,8 times 0,6 = 12 times 1 times (2,43)^2 + 12 times 3 times vp^2 .
Sabemos que:
5,88 = 12 times 5,88 + 32 vp^2
Substituindo os valores:
5,88 = 2,94 + 1,5 , vp^2
Calculando:
2,94 = 1,5 , vp^2
vp^2 = 1,96 Rightarrow vp = raiz1,96 = 1,4,m/s
Subtraindo 2,94 de ambos os lados:
Dividindo por 1,5:

Resposta

Quando o bloco perde contato com o prisma, a velocidade do bloco é aproximadamente e a velocidade do prisma é .

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