Um menino está sentado no alto de um monte hemisférico de raio RRR feito de gelo quando começa a deslizar sem atrito. Mostre que ele é projetado para fora do gelo a uma altura 2 R / 32 R / 32 R / 3.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um menino sentado no topo de um monte hemisférico de raio feito de gelo. Ele começa a deslizar sem atrito. Queremos descobrir a altura em que ele será lançado para fora do gelo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e forças em movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na conservação de energia. Como não há atrito, a energia mecânica do menino (que é a soma da energia potencial e da energia cinética) se conserva durante todo o movimento.
No ponto de partida, toda a energia é potencial gravitacional, porque o menino está parado. A energia potencial é dada por:
Ep = mgh
onde:
  • Ep = mgR é a massa do menino,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura.
No topo do monte, a altura é igual ao raio , então:

Passo 3

À medida que o menino desliza para baixo, parte dessa energia potencial se transforma em energia cinética. A energia cinética é dada por:
Ek = 12mv^2
onde é a velocidade do menino.
No ponto em que o menino está prestes a ser lançado para fora do gelo, a força normal que o gelo exerce sobre ele é zero. Nesse ponto, a única força agindo no menino é a força gravitacional.

Passo 4

Para o menino estar na trajetória circular sem ser lançado, a força centrípeta necessária é fornecida pela componente da força gravitacional que age na direção do centro da circunferência. Podemos expressar isso como:
mv^2R = mgcos(theta)
onde mv^2R = mgcos(theta) é o ângulo em relação à vertical.
Quando a força normal é zero, temos:
v^2 = gRcos(theta)
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos usar a conservação de energia para relacionar a velocidade mgR = 12mv^2 + mg(R cos(theta)) com a altura gR = 12v^2 + gRcos(theta) onde o menino será lançado. A energia total no ponto mais alto é igual à energia no ponto onde ele é lançado:
gR = 12(gRcos(theta)) + gRcos(theta)
Cancelando gR = 32gRcos(theta) e rearranjando:
1 = 32cos(theta)
Substituindo cos(theta) = 23 da equação anterior:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora que encontramos h = R - Rcos(theta) = R - R(23) = R3 , podemos determinar a altura onde o menino será lançado. A altura é a diferença entre o raio e a componente vertical na posição :

Resposta

O menino é lançado do gelo a uma altura de .

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