Um bloco de metal de massa m desliza numa superficie horizontal que foi lubrificada com óleo tal que o bloco sofre uma resistência viscosa proporcional à potência 3 / 2 da velocidade:
F(v)=-c v^3 / 2
Se a velocidade inicial do bloco é v0 em x=0, mostre que o bloco não pode atingir a uma distância maior que 2 mv0 ^1 / 2 / c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco de metal com massa que está deslizando numa superfície horizontal que está lubrificada com óleo. Isso faz com que o bloco sinta uma resistência viscosa que depende da velocidade do bloco elevada à potência . O objetivo é mostrar que o bloco não pode percorrer uma distância maior que , onde é a velocidade inicial.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e também um pouco de cálculo diferencial para integrar a equação da força e encontrar a distância máxima que o bloco pode percorrer.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a Segunda Lei de Newton, que é:
F = m cdot a
Onde:
  • F(v) = -c v^3/2 é a força resultante,
  • é a massa do bloco,
  • é a aceleração do bloco.
No nosso caso, a única força agindo na horizontal é a resistência viscosa, que é dada por:
O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento.

Passo 3

Substituímos m cdot a = -c v^3/2 na Segunda Lei de Newton:
m cdot dvdt = -c v^3/2
Sabendo que aceleração dvv^3/2 = -cm dt é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( ), temos:
Agora, vamos separar as variáveis e para preparar a equação para integração:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Os limites de integração para integralv0^v v^-3/2 dv = -cm integral0^t dt vão de integral v^-3/2 dv = ( -2 v^-1/2 ) + C (velocidade inicial) a -cm integral dt = -cm t + C , e para de 0 a :
Calculando as integrais:
À esquerda:
À direita:
Ignoramos as constantes de integração porque estamos lidando com limites definidos.

Passo 5

Aplicando os limites de integração, temos:
-2 v^-1/2 + 2 v0^-1/2 = -cm t
Isolando 2 (v0^-1/2 - v^-1/2) = cm t :
Agora, queremos encontrar a distância máxima que o bloco percorre, que ocorre quando a velocidade chega a zero ( ). Vamos analisar o limite quando tende a zero.

Passo 6

Quando t = 2 mc v0^1/2 , xmax = v0 cdot t = v0 cdot 2 mc v0^1/2 = 2 m v0^3/2c tende ao infinito, mas no contexto físico, isso implica que o tempo necessário para o bloco parar é limitado. Para encontrar a distância máxima, podemos relacionar a velocidade com a posição.
Sabemos que . Usando a equação que encontramos:
A distância máxima é então:

Resposta

Portanto, o bloco não pode percorrer uma distância maior que .

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