Um bloco de metal de massa
desliza numa superficie horizontal que foi lubrificada com óleo tal que o bloco sofre uma resistência viscosa proporcional à potência
da velocidade:
Se a velocidade inicial do bloco é
em
, mostre que o bloco não pode atingir a uma distância maior que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco de metal com massa
que está deslizando numa superfície horizontal que está lubrificada com óleo. Isso faz com que o bloco sinta uma resistência viscosa que depende da velocidade do bloco elevada à potência
. O objetivo é mostrar que o bloco não pode percorrer uma distância maior que
, onde
é a velocidade inicial.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e também um pouco de cálculo diferencial para integrar a equação da força e encontrar a distância máxima que o bloco pode percorrer.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a Segunda Lei de Newton, que é:
Onde:
-
é a força resultante, -
é a massa do bloco, -
é a aceleração do bloco.
No nosso caso, a única força agindo na horizontal é a resistência viscosa, que é dada por:
O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento.
Passo 3
Substituímos
na Segunda Lei de Newton:
Sabendo que aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
), temos:
Agora, vamos separar as variáveis
e
para preparar a equação para integração:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Os limites de integração para
vão de
(velocidade inicial) a
, e para
de 0 a
:
Calculando as integrais:
À esquerda:
À direita:
Ignoramos as constantes de integração porque estamos lidando com limites definidos.
Passo 5
Aplicando os limites de integração, temos:
Isolando
:
Agora, queremos encontrar a distância máxima que o bloco percorre, que ocorre quando a velocidade chega a zero (
). Vamos analisar o limite quando
tende a zero.
Passo 6
Quando
,
tende ao infinito, mas no contexto físico, isso implica que o tempo necessário para o bloco parar é limitado. Para encontrar a distância máxima, podemos relacionar a velocidade com a posição.
Sabemos que
. Usando a equação que encontramos:
A distância máxima
é então:
Resposta
Portanto, o bloco não pode percorrer uma distância maior que
.
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