Um corpo desliza para baixo por um plano inclinado que possui coeficiente de atrito cinético 0,5 . Determine o ângulo se a inclinação da reação normal é o dobro da força resultante para baixo ao longo do plano inclinado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um corpo que está deslizando por um plano inclinado com um coeficiente de atrito cinético de . A gente precisa descobrir o ângulo desse plano inclinado, sabendo que a inclinação da força normal é o dobro da força resultante que puxa o corpo para baixo ao longo do plano.
Vamos usar os conceitos de forças em planos inclinados e atrito para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no corpo:
  1. Peso ( ): Puxa o corpo para baixo, com intensidade , onde é a massa e é a aceleração da gravidade.
  2. Força Normal ( ): É a força perpendicular ao plano inclinado, que impede o corpo de atravessar o plano.
  3. Força de Atrito ( ): Atua na direção oposta ao movimento, com intensidade .

Passo 3

Vamos decompor o peso nas direções paralela e perpendicular ao plano inclinado:
  • Paralelo ao plano:
  • Perpendicular ao plano:

Passo 4

A força normal ( ) equilibra a componente perpendicular do peso:

Passo 5

A força resultante que puxa o corpo para baixo ao longo do plano é a diferença entre a componente do peso e a força de atrito:
Substituindo :

Passo 6

Segundo o enunciado, a inclinação da força normal é o dobro da força resultante. Isso pode ser interpretado como a relação das magnitudes dessas forças:
Substituindo as expressões:

Passo 7

Vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por (já que são positivos e diferentes de zero):

Passo 8

Distribuindo o 2:
Vamos levar todos os termos com para um lado:
Fatorando :

Passo 9

Substituindo :
Cancelando o 2:

Passo 10

Para resolver , dividimos ambos os lados por (desde que ):
Então:

Passo 11

Sabemos que , então:

Resposta

O ângulo do plano inclinado é de .

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