Um corpo desliza para baixo por um plano inclinado que possui coeficiente de atrito cinético mu= 0,5 . Determine o ângulo theta se a inclinação da reação normal é o dobro da força resultante para baixo ao longo do plano inclinado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um corpo que está deslizando por um plano inclinado com um coeficiente de atrito cinético de mu = 0,5. A gente precisa descobrir o ângulo theta desse plano inclinado, sabendo que a inclinação da força normal é o dobro da força resultante que puxa o corpo para baixo ao longo do plano.
Vamos usar os conceitos de forças em planos inclinados e atrito para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no corpo:
  1. Peso ( P): Puxa o corpo para baixo, com intensidade P = m cdot g, onde m é a massa e g é a aceleração da gravidade.
  2. Força Normal ( N): É a força perpendicular ao plano inclinado, que impede o corpo de atravessar o plano.
  3. Força de Atrito ( Fat): Atua na direção oposta ao movimento, com intensidade Fat = mu cdot N.

Passo 3

Vamos decompor o peso nas direções paralela e perpendicular ao plano inclinado:
  • Paralelo ao plano: Pparal<=l = P cdot sin(theta) = m cdot g cdot sin(theta)
  • Perpendicular ao plano: Pperp = P cdot cos(theta) = m cdot g cdot cos(theta)

Passo 4

A força normal ( N) equilibra a componente perpendicular do peso:
N = Pperp = m cdot g cdot cos(theta)

Passo 5

A força resultante que puxa o corpo para baixo ao longo do plano é a diferença entre a componente do peso e a força de atrito:
Fres = Pparal<=l - Fat = m cdot g cdot sin(theta) - mu cdot N
Substituindo N:
Fres = m cdot g cdot sin(theta) - mu cdot m cdot g cdot cos(theta)

Passo 6

Segundo o enunciado, a inclinação da força normal é o dobro da força resultante. Isso pode ser interpretado como a relação das magnitudes dessas forças:
N = 2 cdot Fres
Substituindo as expressões:
m cdot g cdot cos(theta) = 2 ( m cdot g cdot sin(theta) - mu cdot m cdot g cdot cos(theta) )

Passo 7

Vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por m cdot g (já que são positivos e diferentes de zero):
cos(theta) = 2 ( sin(theta) - mu cdot cos(theta) )

Passo 8

Distribuindo o 2:
cos(theta) = 2 sin(theta) - 2 mu cos(theta)
Vamos levar todos os termos com cos(theta) para um lado:
cos(theta) + 2 mu cos(theta) = 2 sin(theta)
Fatorando cos(theta):
cos(theta) (1 + 2 mu) = 2 sin(theta)

Passo 9

Substituindo mu = 0,5:
cos(theta) (1 + 2 cdot 0,5) = 2 sin(theta)
cos(theta) (1 + 1) = 2 sin(theta)
2 cos(theta) = 2 sin(theta)
Cancelando o 2:
cos(theta) = sin(theta)

Passo 10

Para resolver cos(theta) = sin(theta), dividimos ambos os lados por cos(theta) (desde que cos(theta) neq 0):
1 = tan(theta)
Então:
tan(theta) = 1

Passo 11

Sabemos que tan(45^circ) = 1, então:
theta = 45^circ

Resposta

O ângulo theta do plano inclinado é de 45^circ.

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