A energia potencial de um objeto é dado por
onde U está em joules e em metros.
(i) Qual a força, , que age sobre o objeto?
(ii) Determine as posições onde o objeto está em equilíbrio e diga se eles são estáveis ou instáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre energia potencial, que é um conceito da física que descreve a energia que um objeto possui devido à sua posição. Aqui, a energia potencial é dada pela função , onde está em joules e em metros. Precisamos encontrar:
  1. A força que age sobre o objeto.
  2. As posições de equilíbrio do objeto e determinar se são estáveis ou instáveis.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a relacionar energia e força.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a força . Na física, a força está relacionada à energia potencial pela derivada negativa dessa energia em relação à posição. A fórmula é:
Isso significa que a força é igual à taxa de variação da energia potencial em relação a , mas com sinal invertido.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
A derivada de em relação a é:
Agora, aplicando a fórmula da força:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as posições de equilíbrio. Um objeto está em equilíbrio quando a força que age sobre ele é zero, ou seja:
Usando a expressão que encontramos para :
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 5

Fatorando a equação:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as posições de equilíbrio são metros e metros.

Passo 6

Agora, precisamos determinar se esses pontos de equilíbrio são estáveis ou instáveis. Para isso, analisamos a segunda derivada da energia potencial, que nos dá informações sobre a concavidade da função .
A segunda derivada é:
Se no ponto de equilíbrio, ele é estável (mínimo de energia). Se , é instável (máximo de energia).

Passo 7

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos de equilíbrio:
  1. Para :
Portanto, é um ponto de equilíbrio estável.
  1. Para :
Então, é um ponto de equilíbrio instável.

Resposta

(i) A força que age sobre o objeto é N.
(ii) As posições de equilíbrio são metros (estável) e metros (instável).

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