A energia potencial de um objeto é dado por
onde U está em joules e
em metros.
(i) Qual a força,
, que age sobre o objeto?
(ii) Determine as posições onde o objeto está em equilíbrio e diga se eles são estáveis ou instáveis.
(i) Qual a força,
(ii) Determine as posições onde o objeto está em equilíbrio e diga se eles são estáveis ou instáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre energia potencial, que é um conceito da física que descreve a energia que um objeto possui devido à sua posição. Aqui, a energia potencial é dada pela função
, onde
está em joules e
em metros. Precisamos encontrar:
- A força
que age sobre o objeto. - As posições de equilíbrio do objeto e determinar se são estáveis ou instáveis.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a relacionar energia e força.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a força
. Na física, a força está relacionada à energia potencial pela derivada negativa dessa energia em relação à posição. A fórmula é:
Isso significa que a força é igual à taxa de variação da energia potencial em relação a
, mas com sinal invertido.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
A derivada de
em relação a
é:
Agora, aplicando a fórmula da força:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as posições de equilíbrio. Um objeto está em equilíbrio quando a força que age sobre ele é zero, ou seja:
Usando a expressão que encontramos para
:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 5
Fatorando a equação:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as posições de equilíbrio são
metros e
metros.
Passo 6
Agora, precisamos determinar se esses pontos de equilíbrio são estáveis ou instáveis. Para isso, analisamos a segunda derivada da energia potencial, que nos dá informações sobre a concavidade da função
.
A segunda derivada é:
Se
no ponto de equilíbrio, ele é estável (mínimo de energia). Se
, é instável (máximo de energia).
Passo 7
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos de equilíbrio:
- Para
:
Portanto,
é um ponto de equilíbrio estável.
- Para
:
Então,
é um ponto de equilíbrio instável.
Resposta
(i) A força que age sobre o objeto é
N.
(ii) As posições de equilíbrio são
metros (estável) e
metros (instável).