A energia potencial de um objeto é dado por
U(x)=5 x^2-4 x^3
onde U está em joules e x em metros.
(i) Qual a força, F(x), que age sobre o objeto?
(ii) Determine as posições onde o objeto está em equilíbrio e diga se eles são estáveis ou instáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre energia potencial, que é um conceito da física que descreve a energia que um objeto possui devido à sua posição. Aqui, a energia potencial é dada pela função , onde está em joules e em metros. Precisamos encontrar:
  1. A força que age sobre o objeto.
  2. As posições de equilíbrio do objeto e determinar se são estáveis ou instáveis.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a relacionar energia e força.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a força F(x) = -dUdx . Na física, a força está relacionada à energia potencial pela derivada negativa dessa energia em relação à posição. A fórmula é:
Isso significa que a força é igual à taxa de variação da energia potencial em relação a , mas com sinal invertido.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de U(x) = 5x^2 - 4x^3 :
dUdx = 10x - 12x^2
A derivada de F(x) = -dUdx = -(10x - 12x^2) = -10x + 12x^2 em relação a é:
Agora, aplicando a fórmula da força:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as posições de equilíbrio. Um objeto está em equilíbrio quando a força que age sobre ele é zero, ou seja:
F(x) = 0
Usando a expressão que encontramos para -10x + 12x^2 = 0 :
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 5

Fatorando a equação:
x(-10 + 12x) = 0
Isso nos dá duas soluções:
Então, as posições de equilíbrio são metros e metros.

Passo 6

Agora, precisamos determinar se esses pontos de equilíbrio são estáveis ou instáveis. Para isso, analisamos a segunda derivada da energia potencial, que nos dá informações sobre a concavidade da função d^2Udx^2 = 10 - 24x .
A segunda derivada é:
Se no ponto de equilíbrio, ele é estável (mínimo de energia). Se , é instável (máximo de energia).

Passo 7

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos de equilíbrio:
  1. Para d^2Udx^2 = 10 - 24(0) = 10 > 0 :
d^2Udx^2 = 10 - 24(56) = 10 - 20 = -10 < 0
Portanto, é um ponto de equilíbrio estável.
  1. Para :
Então, é um ponto de equilíbrio instável.

Resposta

(i) A força que age sobre o objeto é N.
(ii) As posições de equilíbrio são metros (estável) e metros (instável).

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