Um bloco metálico tem, a , densidade . Se o material que constitui o corpo tem coeficiente de dilatação linear , determine sua densidade, , a .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um bloco metálico que, a , tem uma densidade inicial . Queremos descobrir qual será a densidade desse bloco, , quando a temperatura aumentar para . Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica linear e como ela afeta a densidade do material.

Passo 2

Quando a temperatura de um material aumenta, ele tende a se expandir. Essa expansão pode ser medida pela dilatação linear, que é dada pelo coeficiente de dilatação linear . A dilatação linear nos diz o quanto um material se alonga por grau de aumento de temperatura.

Passo 3

No caso de um objeto tridimensional como o bloco metálico, a dilatação linear afeta todas as três dimensões (altura, largura e profundidade). Portanto, a dilatação volumétrica, que é a mudança no volume total do material, é aproximadamente três vezes a dilatação linear. Assim, temos:
onde é o coeficiente de dilatação volumétrica.

Passo 4

A dilatação volumétrica nos permite calcular o novo volume do bloco quando a temperatura aumenta. A varia��ão no volume pode ser expressa como:
onde é o volume inicial, é o coeficiente de dilatação volumétrica e é a variação de temperatura ( ).

Passo 5

Sabendo que a densidade é definida como massa dividida pelo volume, podemos escrever a densidade final como:
Como a massa do bloco não muda com a temperatura, podemos relacionar as densidades inicial e final pela relação inversa dos volumes:

Passo 6

Substituindo por e por , temos:

Resposta

A densidade do bloco a é:

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