(FEI-SP) Um recipiente de vidro tem capacidade C0=91,000 cm^3 a 0^circ C e contém, a essa temperatura, 90,000 cm^3 de mercúrio. A que temperatura o recipiente estará completamente cheio de mercúrio? (São dados: coeficiente de dilatação linear do vidro =3,2 cdot 10^-6 ^circ C^-1; Coeficiente de dilatação cúbica do mercúrio =182 cdot 10^-6 ^circ C^-1.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um recipiente de vidro que, a 0°C, pode segurar até e já está com de mercúrio dentro. A pergunta é: a que temperatura esse vidro vai ficar completamente cheio de mercúrio? Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dilatação térmica, tanto do vidro quanto do mercúrio.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a temperatura afeta o volume do vidro e do mercúrio. Quando a temperatura muda, tanto o vidro quanto o mercúrio expandem ou contraem. A dilatação do vidro é linear, enquanto a do mercúrio é cúbica. Vamos calcular como cada um muda de volume com a temperatura.

Passo 3

Vamos chamar a temperatura final de De (em °C). A variação no volume do vidro ( ) pode ser calculada usando o coeficiente de dilatação linear ( ):
Aqui, multiplicamos o coeficiente linear por 3 porque estamos lidando com volume, que envolve três dimensões.

Passo 4

Para o mercúrio, a variação no volume ( De) é dada pelo coeficiente de dilatação cúbica ( ):
Onde .

Passo 5

No equilíbrio, o aumento de volume do vidro deve ser igual ao aumento de volume do mercúrio para que o recipiente fique cheio:
De
Substituindo as expressões:
C0 times 3 alphavidro times De

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por C0 times 3 alphavidro = VHg times betaHg :
De
Agora, isolamos :

Passo 7

Vamos agora substituir os valores:
C0 = 91.000 , cm^3
alphavidro = 3,2 times 10^-6 , ^circC^-1
VHg = 90.000 , cm^3
betaHg = 182 times 10^-6 , ^circC^-1
Substituindo na fórmula:
De

Passo 8

Calculando o numerador:
91.000 times 3 times 3,2 times 10^-6 = 91.000 times 9,6 times 10^-6 = 0,8736
E o denominador:
90.000 times 182 times 10^-6 = 90.000 times 0,000182 = 16,38

Passo 9

Agora, dividimos os dois resultados:
De

Passo 10

Esse T = 0 + 0,0534 approx 0,05 , ^circC é a variação de temperatura necessária para que o recipiente fique cheio. Como a temperatura inicial era , a temperatura final será:

Resposta

A temperatura necessária para que o recipiente esteja completamente cheio de mercúrio é aproximadamente .

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