(FEI-SP) Um recipiente de vidro tem capacidade
a
e contém, a essa temperatura,
de mercúrio. A que temperatura o recipiente estará completamente cheio de mercúrio? (São dados: coeficiente de dilatação linear do vidro
; Coeficiente de dilatação cúbica do mercúrio
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um recipiente de vidro que, a 0°C, pode segurar até
e já está com
de mercúrio dentro. A pergunta é: a que temperatura esse vidro vai ficar completamente cheio de mercúrio? Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dilatação térmica, tanto do vidro quanto do mercúrio.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a temperatura afeta o volume do vidro e do mercúrio. Quando a temperatura muda, tanto o vidro quanto o mercúrio expandem ou contraem. A dilatação do vidro é linear, enquanto a do mercúrio é cúbica. Vamos calcular como cada um muda de volume com a temperatura.
Passo 3
Vamos chamar a temperatura final de
(em °C). A variação no volume do vidro (
) pode ser calculada usando o coeficiente de dilatação linear (
):
Aqui, multiplicamos o coeficiente linear por 3 porque estamos lidando com volume, que envolve três dimensões.
Passo 4
Para o mercúrio, a variação no volume (
) é dada pelo coeficiente de dilatação cúbica (
):
Onde
.
Passo 5
No equilíbrio, o aumento de volume do vidro deve ser igual ao aumento de volume do mercúrio para que o recipiente fique cheio:
Substituindo as expressões:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Vamos agora substituir os valores:
Substituindo na fórmula:
Passo 8
Calculando o numerador:
E o denominador:
Passo 9
Agora, dividimos os dois resultados:
Passo 10
Esse
é a variação de temperatura necessária para que o recipiente fique cheio. Como a temperatura inicial era
, a temperatura final será:
Resposta
A temperatura necessária para que o recipiente esteja completamente cheio de mercúrio é aproximadamente
.