(FEI-SP) Um recipiente de vidro tem capacidade a e contém, a essa temperatura, de mercúrio. A que temperatura o recipiente estará completamente cheio de mercúrio? (São dados: coeficiente de dilatação linear do vidro ; Coeficiente de dilatação cúbica do mercúrio .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um recipiente de vidro que, a 0°C, pode segurar até e já está com de mercúrio dentro. A pergunta é: a que temperatura esse vidro vai ficar completamente cheio de mercúrio? Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dilatação térmica, tanto do vidro quanto do mercúrio.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a temperatura afeta o volume do vidro e do mercúrio. Quando a temperatura muda, tanto o vidro quanto o mercúrio expandem ou contraem. A dilatação do vidro é linear, enquanto a do mercúrio é cúbica. Vamos calcular como cada um muda de volume com a temperatura.

Passo 3

Vamos chamar a temperatura final de (em °C). A variação no volume do vidro ( ) pode ser calculada usando o coeficiente de dilatação linear ( ):
Aqui, multiplicamos o coeficiente linear por 3 porque estamos lidando com volume, que envolve três dimensões.

Passo 4

Para o mercúrio, a variação no volume ( ) é dada pelo coeficiente de dilatação cúbica ( ):
Onde .

Passo 5

No equilíbrio, o aumento de volume do vidro deve ser igual ao aumento de volume do mercúrio para que o recipiente fique cheio:
Substituindo as expressões:

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Agora, isolamos :

Passo 7

Vamos agora substituir os valores:
Substituindo na fórmula:

Passo 8

Calculando o numerador:
E o denominador:

Passo 9

Agora, dividimos os dois resultados:

Passo 10

Esse é a variação de temperatura necessária para que o recipiente fique cheio. Como a temperatura inicial era , a temperatura final será:

Resposta

A temperatura necessária para que o recipiente esteja completamente cheio de mercúrio é aproximadamente .

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