Um bloco pendurado numa mola oscila verticalmente com a freqüência de 4 Hz e a amplitude de 7 cm. Uma pequenina pedra é colocada sobre o topo do bloco, exatamente no instante em que este bloco estava no ponto mais baixo da sua trajetória. Admitamos que a pedra não tenha efeito sobre a oscilação. (a) A que distância, acima da posição de equilíbrio do bloco, a pedra perde contato com o bloco? (b) Qual a velocidade da pedra quando ela perde contato com o bloco? © Qual a maior altura, acima da posição de equilíbrio do bloco, que a pedra alcança?

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está pedindo e identificar o conteúdo que vamos utilizar.
Enunciado Resumido: Temos um bloco oscilando verticalmente numa mola com frequência de 4 Hz e amplitude de 7 cm. Uma pedra é colocada no topo do bloco quando ele está no ponto mais baixo de sua trajetória. A pedra não afeta a oscilação do bloco.
Conteúdo da Matéria: Movimento harmônico simples (MHS), forças envolvidas em oscilações, leis de Newton.
O que Precisamos: Vamos precisar usar conceitos de MHS, aceleração centrípeta, forças (peso e força normal), e equações de movimento para resolver as três partes do exercício.

Passo 2

Parte (a): Queremos descobrir a altura acima da posição de equilíbrio onde a pedra perde contato com o bloco.
Quando a pedra está em contato com o bloco, a força normal ( mg = m ac ) que o bloco exerce sobre a pedra é responsável por manter a pedra em movimento junto com o bloco. A pedra perde contato quando g = ac .
Vamos considerar as forças atuando na pedra quando ela está no ponto onde perde o contato:
  • Peso da pedra: ac = omega^2 x (para baixo)
  • Força centrípeta necessária para manter a pedra na trajetória circular: g = omega^2 x
No ponto onde perde o contato, a força centrípeta é fornecida apenas pelo peso da pedra.
Então temos:
omega = 2pi f
Simplificando:
omega = 2pi times 4 = 8pi, rad/s
A aceleração centrípeta g = (8pi)^2 x no MHS é dada por:
x = g(8pi)^2
onde x = 9,8(8pi)^2 é a frequência angular e x approx 9,8(25,133) é a posição.
Igualando as duas expressões:
x approx 0,39, m
Para encontrar x = gomega^2 , precisamos calcular x = 9,8(8pi)^2 .
A frequência angular x = 9,864pi^2 está relacionada à frequência x approx 9,8633,6 por:
x approx 0,015 , m
Dado que x approx 1,5 , cm :
Agora, substituímos na equação:
Isolando :
Usando :
Calculando:
Mas como a amplitude da oscilação é 7 cm, que é menor que 0,39 m, a pedra não perde contato durante a oscilação. Portanto, precisamos revisar nossos cálculos.
Na verdade, a condição para a perda de contato acontece quando a aceleração do bloco é maior que a aceleração da gravidade. Isso ocorre em algum ponto durante a subida.
Voltando à equação correta:
Substituindo :
Convertendo para centímetros:

Passo 3

Parte (b): Queremos encontrar a velocidade da pedra quando ela perde contato com o bloco.
No momento em que a pedra perde contato, a única força atuando sobre ela é o peso ac = v^2r . A força centrípeta necessária para a trajetória circular é fornecida por ac = g , como vimos na parte (a).
A velocidade g = v^2x pode ser encontrada usando a relação entre aceleração centrípeta e velocidade:
v = raizg x
Aqui, v = raiz9,8 times 0,015 é a distância do ponto onde a pedra perde o contato até a posição de equilíbrio, que encontramos como v = raiz0,147 .
Sabemos que:
v approx 0,383, m/s
Portanto:
Isolando :
Substituindo os valores:

Passo 4

Parte ©: Queremos encontrar a maior altura que a pedra alcança acima da posição de equilíbrio do bloco.
Quando a pedra perde contato, ela passa a subir até que sua velocidade seja zero. A energia mecânica é conservada nesse movimento (considerando que não há atrito ou outras forças dissipativas).
A energia cinética no ponto de perda de contato é transferida em energia potencial gravitacional na altura máxima 12 m v^2 = m g h :
12 v^2 = g h
Simplificando:
h = v^22g
Isolando h = (0,383)^22 times 9,8 :
h = 0,14719,6
Substituindo h approx 0,0075, m e h approx 0,75, cm :
Convertendo para centímetros:

Resposta

(a) A pedra perde contato com o bloco a aproximadamente 1,5 cm acima da posição de equilíbrio.
(b) A velocidade da pedra quando ela perde contato com o bloco é de aproximadamente 0,383 m/s.
© A maior altura que a pedra alcança acima da posição de equilíbrio do bloco é de aproximadamente 0,75 cm.

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