Um bloco pendurado numa mola oscila verticalmente com a freqüência de 4 Hz e a amplitude de 7 cm. Uma pequenina pedra é colocada sobre o topo do bloco, exatamente no instante em que este bloco estava no ponto mais baixo da sua trajetória. Admitamos que a pedra não tenha efeito sobre a oscilação. (a) A que distância, acima da posição de equilíbrio do bloco, a pedra perde contato com o bloco? (b) Qual a velocidade da pedra quando ela perde contato com o bloco? © Qual a maior altura, acima da posição de equilíbrio do bloco, que a pedra alcança?
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado está pedindo e identificar o conteúdo que vamos utilizar.
Enunciado Resumido: Temos um bloco oscilando verticalmente numa mola com frequência de 4 Hz e amplitude de 7 cm. Uma pedra é colocada no topo do bloco quando ele está no ponto mais baixo de sua trajetória. A pedra não afeta a oscilação do bloco.
Conteúdo da Matéria: Movimento harmônico simples (MHS), forças envolvidas em oscilações, leis de Newton.
O que Precisamos: Vamos precisar usar conceitos de MHS, aceleração centrípeta, forças (peso e força normal), e equações de movimento para resolver as três partes do exercício.
Passo 2
Parte (a): Queremos descobrir a altura acima da posição de equilíbrio onde a pedra perde contato com o bloco.
Quando a pedra está em contato com o bloco, a força normal (
) que o bloco exerce sobre a pedra é responsável por manter a pedra em movimento junto com o bloco. A pedra perde contato quando
.
Vamos considerar as forças atuando na pedra quando ela está no ponto onde perde o contato:
- Peso da pedra:
(para baixo) - Força centrípeta necessária para manter a pedra na trajetória circular:
No ponto onde perde o contato, a força centrípeta é fornecida apenas pelo peso da pedra.
Então temos:
Simplificando:
A aceleração centrípeta
no MHS é dada por:
onde
é a frequência angular e
é a posição.
Igualando as duas expressões:
Para encontrar
, precisamos calcular
.
A frequência angular
está relacionada à frequência
por:
Dado que
:
Agora, substituímos na equação:
Isolando
:
Usando
:
Calculando:
Mas como a amplitude da oscilação é 7 cm, que é menor que 0,39 m, a pedra não perde contato durante a oscilação. Portanto, precisamos revisar nossos cálculos.
Na verdade, a condição para a perda de contato acontece quando a aceleração do bloco é maior que a aceleração da gravidade. Isso ocorre em algum ponto durante a subida.
Voltando à equação correta:
Substituindo
:
Convertendo para centímetros:
Passo 3
Parte (b): Queremos encontrar a velocidade da pedra quando ela perde contato com o bloco.
No momento em que a pedra perde contato, a única força atuando sobre ela é o peso
. A força centrípeta necessária para a trajetória circular é fornecida por
, como vimos na parte (a).
A velocidade
pode ser encontrada usando a relação entre aceleração centrípeta e velocidade:
Aqui,
é a distância do ponto onde a pedra perde o contato até a posição de equilíbrio, que encontramos como
.
Sabemos que:
Portanto:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Parte ©: Queremos encontrar a maior altura que a pedra alcança acima da posição de equilíbrio do bloco.
Quando a pedra perde contato, ela passa a subir até que sua velocidade seja zero. A energia mecânica é conservada nesse movimento (considerando que não há atrito ou outras forças dissipativas).
A energia cinética no ponto de perda de contato é transferida em energia potencial gravitacional na altura máxima
:
Simplificando:
Isolando
:
Substituindo
e
:
Convertendo para centímetros:
Resposta
(a) A pedra perde contato com o bloco a aproximadamente 1,5 cm acima da posição de equilíbrio.
(b) A velocidade da pedra quando ela perde contato com o bloco é de aproximadamente 0,383 m/s.
© A maior altura que a pedra alcança acima da posição de equilíbrio do bloco é de aproximadamente 0,75 cm.