Um corpo de massa 2 kg está sobre uma superfície horizontal sem atrito e ligado a uma mola cuja constante é
. Um segundo corpo, de massa 1 kg, desliza sobre a superfície, na direção do primeiro, a
. (a) Achar a amplitude da oscilação no caso de a colisão ser perfeitamente inelástica e de os dois corpos ficarem juntos depois da colisão. Qual o período de oscilação? (b) Achar a amplitude e o período de oscilação se a colisão for elástica. © Com cada tipo de colisão, escrever uma expressão da posição
em função do tempo
para o corpo ligado à mola, admitindo que a colisão ocorra no instante
. Qual o impulso proporcionado, em cada caso, ao corpo de 2 kg?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois corpos e uma mola numa superfície sem atrito. O primeiro corpo tem massa de 2 kg e está preso a uma mola com constante de 600 N/m. O segundo corpo tem massa de 1 kg e está deslizando na direção do primeiro a 6 m/s. Vamos precisar usar conceitos de colisão (perfeitamente inelástica e elástica) e de oscilações em molas. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece na colisão perfeitamente inelástica. Nesse tipo de colisão, os dois corpos ficam grudados após o choque. Precisamos calcular a velocidade comum deles depois da colisão usando a conservação do momento linear.
A fórmula da conservação do momento linear é:
Onde:
-
kg (massa do segundo corpo) -
m/s (velocidade do segundo corpo antes da colisão) -
kg (massa do primeiro corpo) -
m/s (o primeiro corpo está parado)
Passo 3
Substituindo os valores na equação:
Então, após a colisão, os dois corpos juntos têm uma velocidade de 2 m/s.
Passo 4
Agora, vamos calcular a amplitude da oscilação. A energia cinética após a colisão será convertida em energia potencial da mola no ponto mais alto da oscilação. A fórmula da energia cinética é:
E a energia potencial da mola é:
Igualando as duas energias para encontrar a amplitude
:
Passo 5
Substituindo os valores:
Então, a amplitude da oscilação é aproximadamente 0,141 metros.
Passo 6
Para encontrar o período de oscilação, usamos a fórmula do período
para um sistema massa-mola:
Aqui,
kg e
N/m.
Passo 7
Substituindo os valores:
Portanto, o período de oscilação é aproximadamente 0,445 segundos.
Resposta
A amplitude da oscilação é aproximadamente 0,141 metros e o período de oscilação é cerca de 0,445 segundos.